Nén thông tin về sự cố tạm dừng cho máy orure Turing

Vấn đề tạm dừng nổi tiếng là không thể giải quyết được. Tuy nhiên, có thể "nén" thông tin theo cấp số nhân về vấn đề tạm dừng, do đó việc giải nén nó là có thể tính toán được.

Chính xác hơn, có thể tính toán từ mô tả của Máy Turing và lời khuyên -bit nêu câu trả lời cho vấn đề tạm dừng cho tất cả của máy Turing, giả sử trạng thái lời khuyên là đáng tin cậy - chúng tôi cho phép cố vấn của chúng tôi chọn các bit để mô tả có bao nhiêu máy Turing tạm dừng ở dạng nhị phân, đợi cho đến khi nhiều điểm dừng đó và đầu ra mà phần còn lại không dừng lại.n 2 n - $2^{n}-1$$n$$2^{n}-1$

Lập luận này là một biến thể đơn giản của bằng chứng cho thấy hằng số Chaitin có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề tạm dừng. Điều làm tôi ngạc nhiên là nó sắc nét. Không có bản đồ có thể tính toán được từ mô tả của Máy Turing và lời khuyên -bit cho đến bit đầu ra tạm dừng để có câu trả lời đúng, cho mỗi bộ máy Turing, cho một số bit. Nếu có, chúng ta có thể tạo ra một mẫu phản ứng bằng cách chéo, với mỗi máy Turing mô phỏng những gì chương trình thực hiện trên một trong có thể sắp xếp của các bit và sau đó chọn trạng thái dừng riêng để vi phạm dự đoán . n 2 n 2 n 2 n$2^n$$n$$2^n$$2^n$$2^n$$n$

Không thể nén thông tin về sự cố tạm dừng cho các máy Turing với một lời tiên tri tạm dừng (không có quyền truy cập vào một loại lời sấm nào đó). Các máy chỉ có thể mô phỏng những gì bạn dự đoán trên tất cả các đầu vào có thể, bỏ qua các đầu vào mà bạn không dừng lại và chọn thời gian tạm dừng của chúng để đưa ra câu trả lời đầu tiên về mặt từ vựng mà bạn không dự đoán trên bất kỳ đầu vào nào.

Điều này thúc đẩy tôi suy nghĩ về những gì xảy ra cho các nhà tiên tri khác:

Có một ví dụ về một nhà tiên tri trong đó vấn đề tạm dừng cho các máy Turing với nhà tiên tri đó có thể được nén ở tốc độ tăng trưởng trung gian giữa tuyến tính và hàm mũ?

Chính thức hơn, được đưa ra một lời sấm truyền, hãy để là lớn nhất sao cho tồn tại hàm tính toán một phần từ oracle Turing machine và bit đến bit, sao cho mỗi -tuple của máy orure Turing, có một bit, trong đó giá trị của hàm được đánh giá trên đầu vào đó bằng với -tuple của cho mỗi máy Turing orory dừng lại và cho mỗi máy Turing orest chạy mãi mãi.m m n m m n m 1 $f(n)$$m$$m$$n$$m$$m$$n$$m$$1$$0$

Có một nhà tiên tri nơi ? Có một nhà tiên tri trong đó ?ω ( n ) = f ( n ) = o ( 2 n$n<f(n)<2^{n}-1$$\omega(n)=f(n)=o(2^n)$

Đặt là đầu ra của máy Turing thứ được trang bị orory , trên đầu vào . Ở đây là viết tắt của "nhảy". (Trong trường hợp không tạm dừng, không xác định.)e A e J J A ( e $J^A(e)$$e$$A$$e$$J$$J^A(e)$

Một oracle là nhảy-theo dõi nếu có một tính toán chức năng nondecreasing như vậy mà cho tất cả các , đối với một số gia đình computably đếm được của tập hữu hạn với cho tất cả .h : N → N e J Một ( e ) ∈ T e ( T e ) e ∈ N | T e | ≤ h ( e ) $A$$h:\mathbb N\to\mathbb N$$e$$J^A(e)\in T_e$$(T_e)_{e\in\mathbb N}$$|T_e|\le h(e)$$e$

Hãy xem xét chuỗi có độ dài chỉ ra đầu tiên của các máy Turing số để tạm dừng. (Nếu ít hơn tạm dừng, không xác định.)n k 0 , Mạnh , n - 1 k f A ( k , n $f^A(k,n)=$$n$$k$$0,\dots,n-1$$k$$f^A(k,n)$

Lưu ý rằng là một phần tính toán liên quan đến . Do đó, có một hàm tính toán sao cho . A g f A ( k , n ) = J A ( g ( k , n ) $f^A$$A$$g$$f^A(k,n)=J^A(g(k,n))$

Để nén bit đầu tiên của tập hợp tạm dừng cho điều đó đủ để nói rằng một trong số các phần tử của là đúng, trong đó và là số chính xác của tạm dừng TM.A h ( e ) T e e = g ( k , n ) $n$$A$$h(e)$$T_e$$e=g(k,n)$$k$

Có một hệ thống phân cấp phù hợp của các nhà tiên tri có thể theo dõi bước nhảy (Nies, Tính toán và Tính ngẫu nhiên , Định lý 8.5.2). Vì vậy, bằng cách chọn nhỏ một cách thích hợp, chúng tôi có được một ứng cử viên cho một lời tiên tri như bạn yêu cầu.$h$$A$

Đó là một ứng cử viên hợp lý theo nghĩa là chúng ta có một hướng (giới hạn trên của tốc độ tăng trưởng) và điều đó có thể chứng minh rằng phương pháp mà chúng ta thu được giới hạn trên không đưa ra giới hạn trên nhỏ hơn nhiều.