Đồ thị đẳng cấu và các nhóm con ẩn

23

Tôi đang cố gắng hiểu mối quan hệ giữa đẳng cấu đồ thị và vấn đề nhóm con ẩn. Có một tài liệu tham khảo tốt cho việc này?

— Suresh Venkat
nguồn

2

Tssk, chúng tôi không chỉ cần chữa bệnh GI của bạn mà còn cho tất cả những độc giả nghèo về câu hỏi của bạn cũng bị nhiễm bệnh! (Đây là trong trò đùa, tôi cũng dễ bị bệnh GI.)

— András Salamon

1

quá đúng Tôi phải tránh xa Dave Bacon ngay bây giờ :)

— Suresh Venkat

2

FYI, bài báo tương đối gần đây tôi nghĩ đã đặt chiếc đinh vào quan tài về "thuật toán sàng lượng tử" cho GI, bao gồm nhiều nỗ lực cho đến nay (và không được đề cập trong bài đăng trên blog của Dave Bacon): dx.doi.org/ 10.1137 / 080724101 . Bài viết nặng về lý thuyết đại diện, nhưng phần giới thiệu thì không, và là một bài đọc khá hay.

— Joshua Grochow

20

Tài liệu tham khảo có thể được tìm thấy trong câu trả lời của martinschwarz, nhưng đây là tóm tắt về một vài cách giảm.

Nhóm đối xứng hoạt động trên đồ thị của n đỉnh bằng cách hoán vị các đỉnh. Xác định xem hai đồ thị có phải là đẳng cấu có thời gian đa thức tương đương với việc tính toán một bộ tạo kích thước đa thức cho . $S_n$ $Aut(G)$

Giảm HSP qua nhóm đối xứng (trong đó là số lượng biến trong biểu đồ). Chức năng là nơi là một hoán vị trong , và là phiên bản hoán vị của . Khi đó là hằng số trên các coset của và khác biệt trên các coset riêng biệt (lưu ý rằng hình ảnh của bao gồm tất cả các đồ thị đẳng hình với ). Vì nhóm con ẩn chính xác là , nếu chúng ta có thể giải quyết HSP này thì chúng ta sẽ có bộ tạo cho $S_n$ $n$ $f$ $f(p)=p(G)$ $p$ $S_n$ $p(G)$ $G$ $f$ $Aut(G)$ $f$ $G$ $Aut(G)$ $Aut(G)$ , đó là tất cả những gì chúng ta cần để giải quyết GI (xem ở trên).

Giảm xuống HSP qua . Nếu chúng ta muốn biết hai đồ thị và trên đỉnh có phải là đẳng cấu hay không, hãy xem xét đồ thị là liên kết rời rạc của và trên các đỉnh . Hãy để hành động trên các đỉnh bằng cách hoán đổi với với . Hoặc hoặc . Như trước, hãy để trong đó $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $G$ $H$ $n$ $K$ $G$ $H$ $2n$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $i$ $n+i$ $i=1,...,n$ $Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$ $Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $f(x)=x(K)$ $x$ hiện là một phần tử của hoạt động trên như được mô tả. Nhóm con ẩn liên quan đến chính xác là , như trong phần giảm trước. Nếu chúng ta giải quyết HSP này, chúng ta sẽ có một bộ tạo cho . Sau đó, thật dễ dàng để kiểm tra xem bộ tạo có chứa bất kỳ phần tử nào hoán đổi bản sao của với bản sao của bên trong (có thành phần ). $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $K$ $f$ $Aut(K)$ $Aut(K)$ $G$ $H$ $K$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

— Joshua Grochow
nguồn

17

Bạn có thể muốn đọc bài đăng trên blog gần đây của Dave Bacon về Biểu đồ đẳng cấu với các liên kết đến tài liệu.

— Martin Schwarz
nguồn

14

"Thuật toán lượng tử cho các vấn đề đại số" của Andrew Childs và Wim van Dam arXiv: 0812.0380 là một bài khảo sát rất tốt có chứa một giới thiệu tốt về HSP không Abelian và mối liên hệ của nó với Biểu đồ đẳng cấu.

— dabacon
nguồn