Là một nửa vấn đề ma thuật vuông đầy NP-hoàn thành?

Đây là vấn đề:

Chúng ta có một hình vuông với một số số từ 1..N trong một số ô. Nó là cần thiết để xác định nếu nó có thể được hoàn thành đến một quảng trường ma thuật.

Ví dụ:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

Vấn đề này đã hoàn thành NP chưa? Nếu có, làm thế nào tôi có thể chứng minh nó?

Ngã tư trên MS

Điền vào một hình vuông Latin đầy một phần là NP-Complete. "Sự phức tạp của việc hoàn thành một phần hình vuông Latin" Charles J. Colbourn. Toán ứng dụng rời rạc, Tập 8, Số 1, Tháng 4 năm 1984, Trang 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

Một vấn đề hình vuông Latin có thể được biến thành một vấn đề vuông ma thuật thông qua số học mô-đun? Trực giác của tôi nói có, nhưng phần còn lại trong não tôi nói "Quay trở lại để chấm điểm!"

Câu hỏi này có hai phần: thứ nhất, là vấn đề trong NP, và thứ hai, nó có phải là NP không?

Đối với phần đầu tiên, tôi có một câu trả lời tích cực với một bằng chứng không rõ ràng. (Cảm ơn Suresh vì đã chỉ ra một lỗi trước đó.)

Hãy xem xét cách sau đây để chính thức hóa câu hỏi như một vấn đề quyết định:

Không hạn chế MAGIC SQUARE HOÀN
Input: số nguyên dương được đưa ra trong unary, danh sách các số nguyên với vị trí của họ trong một n bởi n lưới Câu hỏi: làm ở đó tồn tại số nguyên cho các vị trí còn lại trong lưới điện, do đó các hình thức sắp xếp một hình vuông ma thuật ?$n$$n$$n$

Nếu chúng ta thêm những hạn chế mà mỗi người trong số các số nguyên phải xảy ra một cách chính xác một lần trong hình vuông ma thuật, sau đó kết quả MAGIC SQUARE HOÀN quyết định vấn đề rõ ràng là trong NP. Các định nghĩa của một hình vuông ma thuật trong năm 1911 Encyclopædia Britannica , sau Euler , có hạn chế này; ngược lại, bài viết Wikipedia hiện sử dụng thuật ngữ "bình phương ma thuật bình thường" và dành "quảng trường ma thuật" cho phiên bản không giới hạn.$1,2,\dots,n^2$

Với một bởi n lưới, ít nhất là n số phải được đưa ra, nếu không thì câu trả lời là trivially "YES" cho phiên bản không hạn chế. Do đó, kích thước của đầu vào có thể được giả định là cần nhiều hơn n bit trong trường hợp này. Đối với phiên bản bình thường, có thể có những đầu vào yêu cầu vài bit nhưng không có giải pháp; để tránh các biến chứng như vậy tôi đã chỉ định rằng n được đưa ra trong unary.$n$$n$$n$$n$$n$

Đối số sử dụng một ràng buộc về kích thước có thể có của các số nguyên xuất hiện trong các giải pháp. Trong trường hợp bình thường, ràng buộc này rõ ràng là , nhưng trong trường hợp chung, không có gì rõ ràng là một ràng buộc như vậy tồn tại. Nó chỉ ra rằng một ràng buộc theo cấp số nhân tồn tại.$n^2$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$\sqrt{5}^{n-1}$

Điều này cũng xuất hiện như Định lý 4.7 trong:

• Apoloniusz Tyszka, Hai phỏng đoán về số học trong R và C , Math. Đăng nhập. Quart. 56 175 Quảng184, 2010.

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

Điều này mang lại những điều sau đây:

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

Sử dụng Papadimitriou bị ràng buộc vào các giải pháp của một thể hiện của CHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH INTEGER, người ta cũng có thể chỉ ra rằng phiên bản mà tất cả các số phải không âm cũng nằm trong NP.

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• Christos H. Papadimitriou, Về sự phức tạp của lập trình số nguyên , JACM 28 765 Way768, 1981. ( link )