Truyền thông phức tạp các lớp học?

Thảo luận :

Gần đây tôi đã dành thời gian cá nhân để học nhiều thứ khác nhau trong sự phức tạp trong giao tiếp. Chẳng hạn, tôi đã làm quen lại với chương có liên quan ở Arora / Barak, bắt đầu đọc một số bài báo và đặt mua cuốn sách của Kushilevitz / Nisan. Theo trực giác, tôi muốn đối chiếu sự phức tạp trong giao tiếp với độ phức tạp tính toán. Và đặc biệt, tôi bị cho rằng thực tế là sự phức tạp tính toán đã phát triển thành một lý thuyết phong phú về việc đặt các vấn đề tính toán vào các lớp phức tạp, một số trong đó có thể lần lượt ( từ một quan điểm, ít nhất là ) được hình dung về các vấn đề hoàn chỉnh cho mỗi lớp nhất định. Chẳng hạn, khi giải thích $NP$ với ai đó lần đầu tiên, thật khó để tránh so sánh với SAT hoặc một số vấn đề hoàn chỉnh NP khác.

Để so sánh, tôi chưa bao giờ nghe bất cứ điều gì về một khái niệm tương tự cho các lớp phức tạp giao tiếp. Có nhiều ví dụ mà tôi nhận thức được, về các vấn đề "hoàn thành cho một định lý." Ví dụ, như một khung chung, các tác giả có thể mô tả một vấn đề giao tiếp và sau đó chứng minh rằng một định lý liên quan T giữ i f f vấn đề giao tiếp có thể được giải quyết bằng X hoặc ít bit hơn (đối với một số X phụ thuộc vào định lý cụ thể / cặp vấn đề trong câu hỏi). Thuật ngữ sử dụng sau đó trong văn học là P là "hoàn chỉnh" cho T .$P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

Hơn nữa, có một dòng trêu ngươi trong dự thảo chương phức tạp về giao tiếp Arora / Barak (dường như đã bị xóa / điều chỉnh trong lần in cuối cùng) nói rằng "Nói chung, người ta có thể xem xét các giao thức truyền thông tương tự như , c o N P , P H v.v. " Tuy nhiên, tôi nhận thấy hai thiếu sót quan trọng:$NP$$coNP$$PH$

1. Khái niệm "tương tự" dường như là một cách tính toán độ phức tạp trong giao tiếp của việc giải quyết một giao thức nhất định với quyền truy cập vào các loại tài nguyên khác nhau, nhưng chỉ dừng lại ở việc xác định các lớp phức tạp giao tiếp phù hợp ...
2. Hầu hết sự phức tạp trong giao tiếp dường như tương đối "mức độ thấp", theo nghĩa là phần lớn áp đảo của các kết quả / định lý / v.v. xoay quanh các giá trị nhỏ, cụ thể, có kích thước đa thức. Điều này phần nào đặt ra câu hỏi tại sao, giả sử, là thú vị cho tính toán nhưng khái niệm tương tự dường như ít thú vị hơn cho giao tiếp. (Tất nhiên, tôi chỉ có thể có lỗi vì đơn giản là không biết về các khái niệm phức tạp giao tiếp "cấp cao hơn".) $NEXP$

Câu hỏi :

Có một khái niệm tương tự với các lớp phức tạp tính toán cho độ phức tạp giao tiếp không?

Và:

Nếu vậy, làm thế nào nó so sánh với khái niệm "tiêu chuẩn" của các lớp phức tạp? (ví dụ: có những hạn chế tự nhiên đối với "các lớp phức tạp giao tiếp" khiến chúng vốn đã thiếu đi toàn bộ các lớp phức tạp tính toán?) Nếu không, lý do "bức tranh lớn" là các lớp là một chủ nghĩa hình thức thú vị cho độ phức tạp tính toán nhưng không phải cho sự phức tạp trong giao tiếp?

Có vẻ như bạn đang tìm kiếm bài báo này: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

Các lớp phức tạp về độ phức tạp trong giao tiếp đã được Babai, Frankl, Simon giới thiệu trong bài báo được Noam trích dẫn. Bài viết cũng phát triển ý tưởng về sự hoàn thiện theo mức giảm phù hợp. Ví dụ, nếu bạn mô tả các lớp NP và co-NP, thì việc mô tả vấn đề phân biệt (hoàn thành đồng NP) cũng rất có ý nghĩa.

Đối với câu hỏi thứ hai của bạn, nếu P là (về độ phức tạp trong giao tiếp) thì lớp các vấn đề có thể giải quyết được với giao tiếp polylog (n) một cách xác định, thì lớp EXP phải là tập hợp các vấn đề có thể giải quyết được với giao tiếp poly (n), đơn giản là mọi thứ. Vì vậy, có vẻ như các lớp học như vậy không thú vị.

Tuy nhiên, có một cách khác để có được các lớp lớn hơn. Đã PSPACE được định nghĩa (bởi Babai và cộng sự) không phải theo một số khái niệm về không gian, mà về mặt xen kẽ. Bằng chứng tương tác là một cách khác để có được các lớp phức tạp lớn. Vì vậy, bạn có thể định nghĩa MIP lớp là tập hợp các vấn đề có thể được giải quyết trong trò chơi giao tiếp với hai provers (những người không thể nói chuyện với nhau) và hai người xác minh (những người có thể nói chuyện với nhau và với các provers).

Trong thế giới máy Turing, MIP = NEXP, nhưng về độ phức tạp trong giao tiếp (trong đó NEXP dường như không có ý nghĩa gì)? Trước hết, MIP không chỉ là tập hợp của tất cả các vấn đề do một đối số đếm đơn giản.

Andrew Drucker (trong luận án thạc sĩ của mình) đã cho thấy một điều thú vị về lớp học này. Anh ta xem xét sự phức tạp trong giao tiếp của PCP, mà (bằng các kỹ thuật tiêu chuẩn) tương đương với các giao thức MIP (kết quả của anh ta mạnh hơn một chút so với những gì tôi nêu ở đây).

Những gì anh ấy thể hiện là đối với mọi vấn đề trong NP (lớp máy Turing) và bất kỳ cách nào để phân tách đầu vào, vấn đề giao tiếp kết quả có một giao thức MIP với polylog truyền thông (n) (tức là vấn đề nằm ở (độ phức tạp trong giao tiếp) lớp MIP).

Vì vậy, trong khi MIP không phải là tất cả, việc tìm kiếm một vấn đề rõ ràng không có trong MIP sẽ khó khăn (không phải vì chúng tôi không thể tìm thấy các vấn đề không có trong NP, nhưng vì không dễ để tưởng tượng mức độ phức tạp của máy Turing có thể xảy ra ).

Điều đó cho thấy giới hạn thấp hơn đối với MIP có lẽ không quá ngạc nhiên, bởi vì chúng ta thậm chí không biết cách chứng minh giới hạn thấp hơn cho các giao thức AM.

Một phần của Sở thú phức tạp liệt kê các lớp Truyền thông phức tạp quan trọng nhất.

Lý do cơ bản có những hạn chế như vậy về độ phức tạp trong giao tiếp là vì chỉ có một lượng tuyến tính tổng số thông tin cần được truyền đạt (các đầu vào). Mặc dù về cơ bản, Hartmut Klauck đã chỉ ra điều này trong câu trả lời của anh ấy, tôi muốn nêu bật một câu trả lời cho OQ khác về lý do cơ bản cho giới hạn cơ bản này, cụ thể là, các cầu thủ không bị ràng buộc về mặt tính toán .

$d(n)$$O(d(n)\log n)$$d(n)=O(1)$