Tầm quan trọng của khoảng cách tích phân

Tôi luôn gặp khó khăn trong việc hiểu tầm quan trọng của Khoảng cách Tích phân (IG) và giới hạn về nó. IG là tỷ lệ (chất lượng) của một câu trả lời nguyên tối ưu cho (chất lượng) một giải pháp thực tế tối ưu cho sự thư giãn của vấn đề. Hãy xem xét bìa đỉnh (VC) làm ví dụ. VC có thể được coi là tìm một giải pháp số nguyên tối ưu của tập hợp các phương trình tuyến tính sau:

Chúng tôi có zero / một biến có giá trị s cho mỗi đỉnh của đồ thị . Các phương trình là: cho và cho mỗi cạnh . Chúng tôi đang tìm kiếm các giá trị sẽ giảm thiểu . v ∈ V ( G ) G 0 ≤ x v ≤ 1 v ∈ V ( G ) 1 ≤ x v + x u u v ∈ E ( G ) ∑ v ∈ V ( G ) x $x_v$$v \in V(G)$$G$$0 \leq x_v \leq 1$$v\in V(G)$$1 \leq x_v+x_u$$uv \in E(G)$$\sum_{v \in V(G)} x_v$

Sự thư giãn của vấn đề này cho phép các giá trị thực nằm trong khoảng từ đến nên không gian của các giải pháp lớn hơn và một giải pháp thực tối ưu có thể nhỏ hơn một giải pháp số nguyên tối ưu mà chúng tôi muốn tìm. Do đó, chúng ta cần thực hiện quy trình "làm tròn" trên câu trả lời thực tối ưu thu được từ lập trình tuyến tính để tìm ra giải pháp số nguyên. Giải pháp số nguyên tối ưu sẽ nằm giữa giải pháp thực tối ưu và kết quả của quá trình làm tròn. IG là tỷ lệ của một giải pháp số nguyên tối ưu cho một giải pháp thực tối ưu và không nói gì về quy trình làm tròn. Quá trình làm tròn có thể (về lý thuyết) hoàn toàn bỏ qua giải pháp thực và tính trực tiếp giải pháp số nguyên tối ưu.$0$$1$

Tại sao mọi người quan tâm đến việc chứng minh giới hạn trên IG?

Khoảng cách tích phân về cơ bản thể hiện các giới hạn vốn có của một thư giãn tuyến tính hoặc lồi cụ thể trong việc xấp xỉ một chương trình số nguyên. Nói chung, nếu khoảng cách tích phân của một thư giãn cụ thể là , thì bất kỳ thuật toán xấp xỉ nào dựa trên sự thư giãn đó đều không thể hy vọng sẽ làm tốt hơn so với xấp xỉ . Vì vậy, ít nhất, các lỗ hổng tích hợp là mối quan tâm của các nhà thiết kế thuật toán vì họ đề xuất các hạn chế trong một số kỹ thuật nhất định. $x$$x$

Vậy tại sao không đến với một thư giãn LP khác hoặc chuyển sang các kỹ thuật khác và tiếp tục? Lập trình tuyến tính và lồi đã được chứng minh là trung tâm của các thuật toán gần đúng; đối với nhiều vấn đề, khoảng cách tích phân của công thức LP hoặc SDP tự nhiên bằng với tỷ lệ gần đúng của thuật toán tốt nhất cũng như độ cứng của tỷ lệ gần đúng. Đây chỉ là một quan sát thực nghiệm, nhưng nó có nghĩa là việc chứng minh một khoảng cách tích phân có thể gợi ý những hậu quả mạnh mẽ hơn nhiều của một thuật toán được cải thiện hoặc ràng buộc thấp hơn.

Có thể có những lý do sâu hơn và nghiêm ngặt hơn cho hiện tượng này. Ví dụ, giả sử các phỏng đoán trò chơi duy nhất, người ta biết rằng tỷ lệ gần đúng và tỷ lệ không tương đương cho các vấn đề thỏa mãn ràng buộc bằng với khoảng cách tích phân của một thư giãn SDP đơn giản (xem Thuật toán tối ưu và kết quả không thể đạt được cho mỗi CSP? Của Prasad Raghave)

Cuối cùng, khoảng cách tích phân đại diện cho giới hạn dưới vô điều kiện . Thông thường, chúng ta cần dựa vào các giả định chưa được chứng minh (ví dụ ) nếu chúng ta muốn đạt được bất kỳ tiến triển nào trong giới hạn thấp hơn, nhưng đối với các mô hình tính toán bị hạn chế, đôi khi chúng ta có thể thoát khỏi nó (xem ghi chú bài giảng của Luca Trevisan). Khoảng cách tích hợp, hoàn toàn là hình học chứ không phải là tính toán, là một cách để có được giới hạn dưới khá mạnh mẽ mà không cần đến các giả định thêm.$P \neq NP$

Giả sử rằng vấn đề bạn quan tâm là một vấn đề giảm thiểu và rằng bạn đã phát triển một thuật toán -approximate. Nếu, trên một đầu vào nhất định, thuật toán của bạn đưa ra một giải pháp chi phí , thì việc tính toán thuật toán cộng với phân tích của nó đưa ra một chứng chỉ rằng, trên đầu vào đó, tối ưu là ít nhất . Rõ ràng, ít nhất là tối ưu, vì vậy với mỗi đầu vào, chúng tôi có thể chứng nhận giới hạn dưới với tối ưu là ít nhất là một phần của chính tối ưu.c a / c a 1 /$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

Trong tất cả các thuật toán dựa trên sự thư giãn lồi (LP và SDP) mà tôi biết, giới hạn thấp hơn được chứng nhận ở mức tối ưu được đưa ra bởi sự tối ưu của việc thư giãn. Nếu thư giãn có khoảng cách tích phân , thì sẽ không thể đạt được tỷ lệ xấp xỉ tốt hơn , trừ khi trong phân tích, người ta đưa ra một kỹ thuật ràng buộc thấp hơn cho tối ưu mạnh hơn giới hạn dưới do thư giãn cung cấp.$I$$I$

Khoảng cách tích phân là một chỉ số hữu ích về mức độ xấp xỉ của một IP. Có thể tốt hơn để nghĩ về nó một cách không chính thức, trực quan. Khoảng cách tích hợp cao ngụ ý rằng các phương pháp nhất định sẽ không hoạt động. Một số phương pháp nguyên thủy / kép nhất định, ví dụ, phụ thuộc vào khoảng cách tích phân nhỏ. Đối với Vertex Cover LP nguyên thủy tiêu chuẩn, LP kép yêu cầu kết hợp tối đa. Trong trường hợp này, chúng ta có thể làm như sau:

• tìm một giải pháp phân đoạn tối ưu cho LP kép (kết hợp phân số tối đa)$\boldsymbol{y}$
• nhân giải pháp với hệ số 2 (gấp đôi tất cả các trọng số cạnh)$\boldsymbol{y}$
• chuyển đổi nó thành tích phân khả thi cho LP nguyên thủy (mỗi cạnh cho một nửa trọng lượng của nó từ vectơ thành từng điểm cuối của nó trong vectơ , sau đó mỗi là được thay thế bằng ).$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

Trong trường hợp này, chiến lược đơn giản này hoạt động và chúng tôi kết thúc với một giải pháp tích hợp khả thi cho LP nguyên thủy có trọng lượng không quá hai lần trọng lượng của một giải pháp khả thi cho LP kép. Do trọng số của một giải pháp khả thi cho LP kép là giới hạn thấp hơn cho OPT, nên đây là thuật toán xấp xỉ 2.

Bây giờ, khoảng cách tích hợp đến từ đâu? IG là 2 trong trường hợp này, nhưng một mình nó không ngụ ý rằng thuật toán sẽ hoạt động. Thay vào đó, nó gợi ý rằng nó có thể hoạt động. Và nếu IG nhiều hơn 2, nó sẽ đảm bảo rằng chiến lược đơn giản không phải lúc nào cũng hoạt động. Ít nhất chúng ta sẽ phải nhân giải pháp kép với IG. Vì vậy, khoảng cách tích hợp đôi khi cho chúng ta biết những gì sẽ không hoạt động. Khoảng cách tích phân cũng có thể chỉ ra loại yếu tố gần đúng nào chúng ta có thể hy vọng. Một khoảng cách tích hợp nhỏ cho thấy rằng điều tra các chiến lược làm tròn, v.v., có thể là một cách tiếp cận đáng giá.

Để có một ví dụ thú vị hơn, hãy xem xét vấn đề Đánh bộ và kỹ thuật mạnh mẽ để xấp xỉ vấn đề bằng cách sử dụng -nets (Brönnimann & Goodrich, 1995) . Nhiều vấn đề có thể được hình thành như các trường hợp của Set Set và một chiến lược đã thành công cho nhiều vấn đề là thực hiện điều này, sau đó chỉ cần tìm một công cụ tìm mạng tốt, tức là một thuật toán để xây dựng các nhỏ và xoay mọi thứ thông qua thuật toán meta B & G. Vì vậy, mọi người (bao gồm cả tôi) cố gắng tìm các công cụ tìm net cho các trường hợp bị hạn chế của Set Set, với mọi , có thể xây dựng một -net có kích thước , trong đó hàm$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$nên càng nhỏ càng tốt. Có là một mục tiêu điển hình; điều này sẽ cho phép tính toán gần đúng .$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

Hóa ra, hàm tốt nhất có thể được giới hạn bởi khoảng cách tích phân của một LP nhất định cho Bộ đánh (Ngay cả, Rawitz, Shahar, 2005) . Cụ thể, các giải pháp tích phân và tích phân tối ưu thỏa mãn . Đối với các trường hợp không bị hạn chế của Đánh bộ, khoảng cách tích phân là , nhưng khi hình thành một vấn đề khác là Đánh bộ, IG có thể thấp hơn. Trong ví dụ này, các tác giả chỉ ra cách tìm -nets có kích thước$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$đối với các trường hợp hạn chế của Bộ đánh, tương ứng với vấn đề nhấn các hộp song song trục. Bằng cách này, họ cải thiện dựa trên yếu tố gần đúng được biết đến cho vấn đề đó. Đó là một vấn đề mở cho dù điều này có thể được cải thiện hay không. Nếu, đối với các phiên bản Set Set bị hạn chế này, IG cho LP Set Set là , không thể thiết kế công cụ tìm net đảm bảo -nets có kích thước , vì làm như vậy sẽ ngụ ý sự tồn tại của một thuật toán đảm bảo các tập hợp kích thước nguyên hàm , nhưng kể từ$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$điều này có nghĩa là một khoảng cách tích hợp nhỏ hơn. Vì vậy, nếu khoảng cách tích hợp là lớn, việc chứng minh nó có thể ngăn mọi người lãng phí thời gian để tìm kiếm các công cụ tìm mạng tốt.

Khi bạn đưa ra thuật toán xấp xỉ cho một số vấn đề tối đa hóa NP-hard, có một số giá trị mà bạn có thể quan tâm: Có OPT, giá trị tối ưu của vấn đề của bạn, giống như OPT (IP), tối ưu giá trị của bất kỳ công thức IP chính xác của vấn đề của bạn. Ngoài ra còn có OPT (LP), giá trị tối ưu của việc thư giãn tuyến tính của IP của bạn.

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

Cuối cùng, có V, giá trị của giải pháp mà bạn kết thúc bằng cách làm tròn giải pháp LP. Bạn muốn chứng minh rằng để chỉ ra rằng thuật toán của bạn là một xấp xỉ , nhưng thường không thể thực hiện điều này một cách trực tiếp, vì bạn không có giữ không gian giải pháp. Thay vào đó, điều hầu như luôn được chứng minh là . Điều này tất nhiên ngụ ý , nhưng mạnh hơn. Cụ thể, nếu khoảng cách tích phân của công thức IP của bạn lớn hơn , thì câu lệnh trên nói chung sẽ sai, vì quy trình làm tròn của bạn kết thúc bằng một giải pháp tích hợp.$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

Vì vậy, mấu chốt là đây: LP cung cấp cho bạn một giải pháp mà bạn biết là "tốt" và bạn muốn làm tròn nó thành một cái gì đó "gần như là tốt". Nếu khoảng cách tích phân là lớn, nói chung là không thể, vì sẽ không bao giờ có một quy trình được đảm bảo để có được một giải pháp tách rời "tốt như" như một giải pháp LP - bởi vì đôi khi, những điều này không tồn tại!

Bạn đúng ở chỗ khoảng cách tích phân của một thư giãn không liên quan gì đến bất kỳ thuật toán làm tròn nào. Đây là hai quan niệm khác nhau. Một khoảng cách tích hợp là một tài sản của một thư giãn cụ thể. Đó là, giá trị của sự thư giãn đó lớn hơn bao nhiêu so với giá trị tích phân tối ưu?

Tại sao chúng ta quan tâm đến thư giãn tuyến tính / lồi? Để có hiệu quả gần đúng một giá trị tích phân. Do đó, chúng tôi thường nói về việc thư giãn chỉ trong trường hợp giá trị tối ưu khó tính toán và chúng tôi quan tâm đến các xấp xỉ hiệu quả. Khoảng cách tích hợp cho chúng ta thấy những hạn chế vốn có của những gì có thể đạt được bằng các kỹ thuật như vậy.

Vì vậy, tại sao chúng ta quan tâm đến các thuật toán làm tròn trên đầu thư giãn? Chúng tôi sử dụng các thuật toán làm tròn để giải quyết vấn đề thuật toán tìm một giải pháp gần tối ưu thay vì chỉ xấp xỉ giá trị của một giải pháp tối ưu. Hơn nữa, các thuật toán làm tròn thường được sử dụng để ràng buộc khoảng cách tích phân của một thư giãn ở vị trí đầu tiên.

Về mặt kỹ thuật, khoảng cách tích phân dành cho một công thức IP cụ thể, chứ không phải (như bạn đã xây dựng), tỷ lệ giữa thư giãn tuyến tính tốt nhất và giải pháp tối ưu (dường như định lượng trên TẤT CẢ các công thức IP).

Khoảng cách tích phân rất quan trọng vì nó cho thấy các giới hạn của công thức LP cụ thể đang được sử dụng. Nếu tôi biết rằng một thư giãn cụ thể có khoảng cách tích phân của , thì tôi cũng biết rằng nếu tôi hy vọng chứng minh được ràng buộc tốt hơn , tôi sẽ cần sử dụng một công thức khác.$c$$c$

Có một bài viết rất thú vị "Về lợi thế của mã hóa mạng để cải thiện thông lượng mạng" cho thấy khoảng cách tích hợp của "thư giãn cắt hai hướng" cho vấn đề cây Steiner chính xác bằng một loại "lợi thế mã hóa" trong giao tiếp mạng. Tôi không biết nhiều giấy tờ tương tự khác. Tuy nhiên, người ta cũng cần lưu ý rằng việc thư giãn LP dường như tốt hơn cho vấn đề cây Steiner đã được biết đến (ví dụ: xem thuật toán xấp xỉ dựa trên LP siêu tốc độ mới của Byrka et al trong STOC 2010, tôi cũng tình cờ biết rằng tôi đồng tác giả một số bài báo gần đây nghiên cứu về siêu văn bản LP).

Hầu hết các câu trả lời đã giải quyết lý do chính để quan tâm đến khoảng cách tích phân, cụ thể là thuật toán xấp xỉ chỉ dựa trên việc sử dụng ràng buộc được cung cấp bởi thư giãn có thể hy vọng chứng minh tỷ lệ tốt hơn khoảng cách tích phân. Hãy để tôi đưa ra hai lý do meta khác tại sao khoảng cách tích phân là một hướng dẫn hữu ích. Đối với một lớp lớn các vấn đề tối ưu hóa tổ hợp, sự tương đương của tách và tối ưu hóa cho thấy các thuật toán chính xác có liên quan mật thiết đến vỏ lồi của các giải pháp khả thi cho vấn đề. Do đó, phối cảnh hình học và thuật toán được liên kết rất chặt chẽ với nhau. Một sự tương đương chính thức tương tự không được biết đến với các thuật toán gần đúng nhưng nó là một hướng dẫn hữu ích - các thuật toán đi đôi với thư giãn hình học. Đổi mới thuật toán xảy ra khi mọi người có một mục tiêu cụ thể để cải thiện.