Có phải BPP so với P là một vấn đề thực sự sau khi chúng ta biết BPP nằm trong P / poly?

Chúng tôi biết (hiện tại khoảng 40 năm, cảm ơn Adman, Bennet và Gill) rằng sự bao gồm BPP P / poly, và một tổ chức P / poly BPP / poly thậm chí còn mạnh hơn . "/ Poly" có nghĩa là chúng ta làm việc không đồng đều (một mạch riêng cho mỗi độ dài đầu vào ), trong khi P không có "/ poly" này có nghĩa là chúng ta có một máy Turing cho tất cả các độ dài đầu vào có thể , thậm chí dài hơn, nói, = số giây cho "Vụ nổ lớn" tiếp theo.$\subseteq$ $\subseteq$ $n$$n$$n$

Câu hỏi 1: Bằng chứng mới (hoặc không bảo vệ) của BPP = P sẽ đóng góp gì cho kiến ​​thức của chúng ta sau khi chúng ta biết BPP P / poly? $\subseteq$

Theo "mới" tôi có nghĩa là bất kỳ hậu quả thực sự đáng ngạc nhiên, như sụp đổ / tách các lớp phức tạp khác. So sánh điều này với hậu quả mà bằng chứng / không bảo vệ của NP P / poly sẽ cung cấp. $\subseteq$

[THÊM 08.10.2017]: Một hậu quả thực sự đáng ngạc nhiên của BPP P sẽ là, như thể hiện bởi Impagliazzo và Wigderson , tất cả các vấn đề (!) Trong E = DTIME [2 ^ {O (n)}] sẽ có mạch có kích thước 2 ^ {o (n)} . Cảm ơn Ryan đã nhớ lại kết quả này.$\not\subseteq$ 2 o ( n $[2^{O(n)}]$$2^{o(n)}$

Câu hỏi 2: Tại sao chúng ta không thể chứng minh BPP = P dọc theo các dòng tương tự như bằng chứng của BPP / poly $\subseteq$ P / poly?

Một trở ngại "rõ ràng" là vấn đề hữu hạn so với miền vô hạn: các mạch boolean hoạt động trên các miền hữu hạn , trong khi các máy Turing hoạt động trên toàn bộ $\{0,1\}^*$ từ $0$ - $1$ chuỗi có độ dài bất kỳ. Vì vậy, để giải thích các mạch boolean xác suất, việc lấy phần lớn các bản sao độc lập của mạch xác suất là đủ, và áp dụng bất đẳng thức của Chernoff, cùng với liên kết ràng buộc. Tất nhiên, trên các miền vô hạn , quy tắc đa số đơn giản này sẽ không hoạt động.

Nhưng điều này (miền vô hạn) có phải là một "chướng ngại vật" thực sự không? Bằng cách sử dụng kết quả từ lý thuyết học thống kê (kích thước VC), chúng tôi đã có thể chứng minh rằng BPP / poly $\subseteq$ P / poly giữ cho các mạch làm việc trên các miền vô hạn , như mạch số học (làm việc trên tất cả các số thực); xem ví dụ bài báo này của Cucker tại al. Khi sử dụng một cách tiếp cận tương tự, tất cả những gì chúng ta cần là chỉ ra rằng kích thước VC của máy Turing đa thời gian không thể quá lớn. Có ai thấy bất kỳ nỗ lực để thực hiện bước sau này?

Các kết quả (được gọi là hội tụ đồng nhất trong xác suất ) sau đó ngụ ý như sau: nếu với mỗi đầu vào , một hàm được chọn ngẫu nhiên (theo một số phân phối xác suất trên ) thỏa mãn với hằng số , sau đó có thể được tính trên tất cả các đầu vào là đa số một số (cố định) chức năng từ . Xem, ví dụ như Hệ quả 2 trong bài viết của Haussler . [Để giữ điều này, có một số điều kiện đo lường nhẹ trên ] f ∈ F F P r o b { f ( x ) = f ( x ) } ≥ 1 / 2 + c c > 0 f ( x ) x ∈ X m = O ( v ) F $x\in X$$\mathbf{f}\in F$$F$$\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$$c>0$$f(x)$$x\in X$$m=O(v)$$F$$F$

Ví dụ: nếu là tập hợp của tất cả các đa thức có thể tính toán bằng các mạch số học có kích thước , thì tất cả các đa thức trong đều có độ lớn nhất là . Bằng cách sử dụng các giới hạn trên đã biết về số lượng mẫu đa thức bằng không (xem, ví dụ bài báo này ), người ta có thể chỉ ra rằng kích thước VC của là . Điều này hàm ý bao gồm BPP / poly P / poly cho các mạch số học.f : R n → R ≤ s F D = 2 s F O ( n log D ) = O ( n s ) $F$$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$\leq s$$F$$D=2^s$$F$$O(n\log D)=O(ns)$$\subseteq$

Không chắc câu trả lời này là bao nhiêu, tôi chỉ đắm chìm trong một số tin đồn.

Câu hỏi 1 có thể được hỏi như nhau về NP P và với một câu trả lời tương tự - các kỹ thuật / ý tưởng được sử dụng để chứng minh kết quả sẽ là bước đột phá lớn hơn nhiều so với kết luận.$\neq$

Đối với Câu hỏi 2 tôi muốn chia sẻ một số nền tảng và suy nghĩ. Gần như tất cả các kỹ thuật và ý tưởng chúng tôi có cho BPP = P, theo như tôi biết, thông qua "derandomization": Đưa ra bất kỳ Turing Machine đa thời gian xác suất nào, xây dựng PRG để cung cấp cho nó một loạt các bit được chọn một cách xác định thay vì ngẫu nhiên những cái đó, sao cho hành vi của nó rất giống với hành vi của nó trên các bit thực sự ngẫu nhiên. Vì vậy, với các trình tạo giả ngẫu nhiên đủ tốt, chúng ta có được BPP = P. ("Thế giới của BPP = P" của Goldreich đưa ra bằng chứng cho thấy mọi bằng chứng về BPP = P phải tương đương với điều này.)

Điều này là khá nhiều dọc theo dòng của BPP P / poly, ngoại trừ ở đó, PRG là chuỗi lời khuyên được tạo ra bởi phép thuật. Có lẽ câu trả lời tốt nhất cho Câu hỏi 2 của bạn là trong P chúng ta không có phép thuật và phải tự mình đưa ra chuỗi lời khuyên. Derandomization cũng là ý tưởng đằng sau kết quả SL = L năm 2004, sử dụng các công cụ như biểu đồ mở rộng.$\subseteq$

Bây giờ hãy xem xét một bằng chứng như vậy có nghĩa gì cho chỉ một thuật toán cụ thể, thử nghiệm tính nguyên thủy Miller-Rabin. Nó sẽ cho thấy sự tồn tại của một số trình tạo xác định chọn ra một chuỗi các số nguyên để cung cấp cho phép kiểm tra tính nguyên thủy Miller-Rabin sao cho, nếu và chỉ khi tất cả các số nguyên vượt qua, thì số ban đầu là số nguyên tố.

Theo tôi hiểu (mặc dù tôi không phải là chuyên gia), câu hỏi liệu một danh sách như vậy có tồn tại không và số lượng nhỏ trong đó có thể như thế nào (đặc biệt là nếu nó đủ để kiểm tra tất cả các số bên dưới một số ràng buộc) có vẻ là một câu hỏi khá sâu sắc lý thuyết số và có liên quan chặt chẽ với các hình thức chứng minh của Giả thuyết Riemann tổng quát. Xem câu hỏi này . Tôi không nghĩ rằng có một hàm ý chính thức ở đây, nhưng nó dường như không phải là thứ chúng ta mong đợi sẽ nhận được vào tuần tới như là một hệ quả thu nhỏ tình cờ của một công trình PRG tổng quát hơn nhiều.