Tìm một argmax gần đúng chỉ sử dụng các truy vấn tối đa gần đúng

Hãy xem xét vấn đề sau.

Có giá trị chưa biết v 1 , ⋯ , v n ∈ R . Nhiệm vụ là tìm chỉ mục của cái lớn nhất chỉ sử dụng các truy vấn có dạng sau. Một truy vấn được chỉ định bởi một tập hợp S ⊆ { 1 , ⋯ , n } và câu trả lời tương ứng là max i ∈ S v i . Mục tiêu là sử dụng càng ít truy vấn càng tốt.$n$$v_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}$$S \subseteq \{1,\cdots,n\}$$\max_{i \in S} v_i$

Vấn đề này rất dễ: Chúng ta có thể sử dụng tìm kiếm nhị phân để tìm argmax với các truy vấn . tức là Xây dựng một cây nhị phân hoàn chỉnh với n lá tương ứng với các chỉ số. Bắt đầu từ gốc và đi xuống một chiếc lá như sau. Tại mỗi nút, truy vấn giá trị tối đa ở các cây con bên phải và bên trái và sau đó di chuyển đến con ở bên với câu trả lời lớn hơn. Khi đạt đến một chiếc lá, xuất chỉ số của nó.$O(\log n)$$n$

Phiên bản ồn ào sau đây của vấn đề này đã xuất hiện trong nghiên cứu của tôi.

Có giá trị chưa biết v 1 , ⋯ , v n . Đây có thể được truy cập với các truy vấn trong đó một tập S ⊆ { 1 , ⋯ , n } được chỉ định và một mẫu từ N ( max i ∈ S v i , 1 ) được trả về. Mục tiêu là xác định i ∗ ∈ { 1 , ⋯ , n } sao cho E [ v i ∗$n$$v_1, \cdots, v_n$$S \subseteq \{1, \cdots, n\}$$\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)$$i_* \in \{1, \cdots, n\}$ sử dụng càng ít truy vấn càng tốt. (Hi vọng là qua sự lựa chọn của tôi * , mà phụ thuộc vào cả tiền xu của thuật toán và truy vấn câu trả lời ồn ào.)$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1$$i_*$

$\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)$$1$$O(\log^2 n)$$O(\log^3 n)$

$O(\log^2 n)$$\Omega(\log^2 n)$$\tilde{O}(\log n)$$\Omega(1)$$0$$O(\log n)$

$B = \Theta(\log n)$$\{v_1,\dots,v_n\} = \{\frac{1}{n}B, \dots, \frac{n-1}{n}B, B\}$

$B$$\frac{n-1}{n}B$

$B-1$

$\log n$$(\log n)^2$

$\frac{B}{n}$

Xin lỗi, đây là một nửa nướng, nhưng hy vọng nó có thể hữu ích!