Hãy xem xét trò chơi 2 người sau:
- Thiên nhiên chọn ngẫu nhiên một chương trình
- Mỗi người chơi đóng một số trong [0, vô cùng] để đáp ứng với di chuyển của tự nhiên
- Lấy số lượng tối thiểu của người chơi và chạy chương trình trong (tối đa) nhiều bước (trừ khi cả hai người chơi chọn vô hạn)
- Nếu chương trình tạm dừng, người chơi đã chơi số tối thiểu được 1 điểm. Nếu chương trình không dừng lại, người chơi đó sẽ mất 1 điểm. Bất kỳ người chơi nào chơi số không tối thiểu đều nhận được 0 điểm và cả hai người chơi đều nhận được 0 nếu cả hai đều chơi vô cùng.
(Các trường hợp góc có thể được xử lý theo bất kỳ cách nào bảo tồn tốt nhất tinh thần của vấn đề - ví dụ: bán tự động trên có thể hữu ích.)
Câu hỏi: trò chơi này có cân bằng Nash có thể tính toán không?
Không có yêu cầu tính toán, mỗi người chơi chỉ chơi chính xác số bước mà chương trình tạm dừng (hoặc vô cùng, nếu nó không dừng lại).
Nếu bạn thử đối số đường chéo thông thường cho vấn đề tạm dừng, bạn sẽ thấy rằng trạng thái cân bằng tồn tại trong các chiến lược hỗn hợp, vì vậy cách tiếp cận rõ ràng không ngay lập tức có hiệu quả. Có lẽ có một số cách để điều chỉnh nó?
Mặt khác, sự tương đương của các trường đóng thực sự có nghĩa là các trò chơi hữu hạn có số tiền tính toán có thể cân bằng tính toán . Trò chơi này không hữu hạn, nhưng không gian chiến lược đã bị đóng và các khoản chi trả có thể tính toán được, vì vậy có thể cùng một mẹo có thể được áp dụng với Định lý Glicksberg hoặc một cái gì đó trong tĩnh mạch đó? Vấn đề là, không có yêu cầu tính toán, trạng thái cân bằng nằm trong các chiến lược thuần túy, do đó, bất kỳ nỗ lực nào để chứng minh sự tồn tại của trạng thái cân bằng tính toán bằng cách sử dụng sự tồn tại của trạng thái cân bằng có thể tính toán được là phải giải thích tại sao trạng thái cân bằng bị hạ cấp từ thuần túy sang hỗn hợp.
Đây có vẻ như là loại vấn đề mà mọi người có thể không giải quyết được câu hỏi chính xác này trước đây, nhưng có thể đã xem xét một cái gì đó tương tự. Tôi đã không thể bật lên nhiều, nhưng nếu có ai biết điều gì về tinh thần, xin vui lòng cho tôi biết!
Động lực: có một trực giác phổ biến rằng tự tham chiếu là khối chính cho khả năng tính toán - tức là, bất kỳ vấn đề không thể tính toán nào bằng cách nào đó đều nhúng tự tham chiếu. Nếu một trò chơi đại khái như thế này có trạng thái cân bằng Nash có thể tính toán được, thì nó sẽ cung cấp bằng chứng cho trực giác đó.
CẬP NHẬT: Để làm rõ, trạng thái cân bằng phải là "tính toán" theo nghĩa của các số thực tính toán: các xác suất mô tả phân phối chiến lược hỗn hợp phải được tính toán với độ chính xác tùy ý. (Lưu ý rằng chỉ có nhiều xác suất sẽ cao hơn bất kỳ mức cắt chính xác cụ thể nào.) Điều này cũng có nghĩa là chúng ta có thể lấy mẫu từ một xấp xỉ gần đúng tùy ý của chiến lược cân bằng.