Đối với bất kỳ hai đồ thị không đẳng hình

Tôi muốn rất cụ thể. Có ai biết về một sự không chắc chắn hoặc bằng chứng của các đề xuất sau đây:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

Theo trực giác, điều này phải đúng nếu tất cả các đồ thị không đẳng hình có thể được phân biệt bằng cách sử dụng các câu lệnh " local" và tôi tưởng tượng rằng điều này là sai. Tất nhiên, bất kỳ đồ thị nào cũng có thể được phân biệt bằng cách sử dụng độ sâu định lượng đa thức, vì bạn có thể chỉ định đơn giản biểu đồ modulo của đồ thị: $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

Chỉnh sửa: Có vẻ như trực giác địa phương tôi có là sai. Một công thức của độ sâu định lượng có địa phương Gaifman giới hạn bởi , có nghĩa là một công thức độ sâu log về cơ bản là toàn cầu. Vì lý do này, tôi có linh cảm đề xuất sẽ trở thành sự thật, điều này sẽ khó hơn nhiều để chứng minh theo quan điểm của tôi. $k$ $O(3^k)$

— Samuel Schlesinger
nguồn

Điều gì về đường dẫn và hai đường dẫn bị ngắt kết nối mỗi chiều dài

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Samuel Schlesinger

Đường dẫn chỉ có hai nút cấp

, hai đường dẫn có bốn. Tức là, chúng có thể được phân biệt bằng một công thức kích thước không đổi. Bạn có thể gặp may mắn hơn với một vòng tròn so với hai vòng tròn, nhưng tôi nghĩ chúng có thể được phân biệt bằng một công thức định lượng

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Cây cao có thể làm việc cho một sự bác bỏ, nếu chúng khác với lá.

— András Salamon

@ EmilJeřábek điều đó có đúng không khi bình đẳng?

— Samuel Schlesinger

@StellaBerman Sự thật của các công thức không có sự bình đẳng được bảo tồn bằng cách phản ánh tính từ (nghĩa là bảo toàn quan hệ theo cả hai cách) đồng cấu. Trong trường hợp đồ thị, ví dụ, bất kỳ hai đồ thị không có cạnh đều thỏa mãn cùng một câu. Tổng quát hơn, người ta có thể lấy bất kỳ đồ thị nào, và thổi lên bất kỳ đỉnh nào thành một tập độc lập.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Cảm ơn đồng nghiệp của tôi Maxim Zhukovskii đã gợi ý câu trả lời này.

Nó chỉ ra rằng câu trả lời là tiêu cực, và ví dụ khá đơn giản. Chỉ mất và cho và và cho $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ . (Ở đây là một -clique và là một tập hợp cô lập đỉnh). Bằng cách xem xét trò chơi Ehrenfeucht, người ta có thể chỉ ra rằng trong trường hợp đầu tiên, độ sâu tối thiểu có thể là và trong trường hợp thứ hai là . $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

Nó đã được chỉ ra trong bài báo "Tính xác định thứ tự đầu tiên của đồ thị: Giới hạn trên của độ sâu định lượng" của Oleg Pikhurko, Helmut Veith và Oleg Verbitsky rằng ràng buộc này gần như chặt chẽ và bất kỳ hai đồ thị -vertex nào cũng có thể phân biệt được bằng một công thức độ sâu $n$ . $\frac{n+3}{2}$

— Daniil Musatov
nguồn