Kết luận từ sức mạnh toán học ngược của định lý đồ thị nhỏ

Giả sử chúng ta có một thuộc tính đồ thị có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức không xác định và bằng chứng trong một hệ thống chính thức yếu (giả sử là ₀ ) rằng tài sản bị đóng nhỏ. Chúng ta có thể nói bất cứ điều gì về sức mạnh của một hệ thống chính thức, có thể chứng minh rằng một tập hợp hữu hạn của các vị thành niên bị loại trừ đặc trưng cho thuộc tính đồ thị đã cho không?

Bối cảnh Người ta đã biết rằng đã có một phiên bản đơn giản (không có bộ nhãn được sắp xếp hợp lý) của định lý cây Kruskal là không thể chứng minh được trong ATR ₀ và định lý nhỏ của đồ thị là một khái quát của định lý đó thậm chí không thể chứng minh được trong ¹ ₁ -CA ₀ . Friedman đã sử dụng phiên bản đơn giản của định lý cây Kruskal để xây dựng hàm TREE (n) đang phát triển nhanh và sử dụng định lý nhỏ biểu đồ để xây dựng hàm SSCG (n) đang phát triển nhanh hơn . Đó là những minh chứng tốt đẹp về kết luận về nội dung tính toán từ sức mạnh toán học ngược, nhưng những điều đó để lại câu hỏi trực tiếp hơn được đặt ra ở trên chưa được trả lời.

Cụ thể, liên quan đến định lý nhỏ đồ thị là bằng chứng cho thấy các thuộc tính đóng nhỏ có thể được kiểm tra theo thời gian khối xác định, nếu người ta biết danh sách các vị thành niên bị loại trừ cho thuộc tính đó. Do đó, thật tự nhiên khi tự hỏi làm thế nào "không thể" chứng minh rằng người ta đã tìm thấy tất cả các vị thành niên bị loại trừ cho một tài sản đóng "dễ dàng" (như được nêu chính xác trong câu hỏi). Vì đây là một nhiệm vụ "không đồng nhất", nên tôi không rõ liệu "tính không thể" của nhiệm vụ này có liên quan gì đến "độ khó" (tức là độ mạnh toán học ngược) của việc chứng minh định lý sơ đồ nhỏ hay không.

Do phiên bản đơn giản của định lý cây Kruskal đặt ra chính xác các câu hỏi giống như định lý nhỏ của đồ thị, nên các câu trả lời có thể tập trung vào vấn đề đơn giản hơn, nếu chúng muốn. Tôi chỉ sử dụng định lý đồ thị nhỏ, bởi vì câu hỏi cảm thấy tự nhiên hơn theo cách đó. (Có thể câu hỏi này có thể phù hợp hơn với MSE hoặc MSO, ít nhất là liên quan đến việc nhận được câu trả lời chắc chắn. Nhưng động lực của câu hỏi này liên quan nhiều hơn đến TCS, vì vậy tôi đã quyết định hỏi nó ở đây.)

Tôi không chắc là tôi đã hiểu câu hỏi của bạn, nhưng nếu bạn hỏi việc tính toán các vật cản khó khăn như thế nào, bạn có thể quan tâm đến http://www.jucs.org/doi?doi=10.3217/jucs- 003-11-1194 trong đó khả năng không tính toán được chứng minh ngay cả khi lớp biểu đồ có thể xác định được MSOL. Trong bài viết này http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S0012365X97830798?via%3Dihub khả năng tính toán được chứng minh khi lớp biểu đồ được đưa ra bởi ngữ pháp HR.