Câu hỏi này không phải ở cấp độ nghiên cứu, nhưng vì nó đang nhận được câu trả lời, tôi muốn đưa ra một câu trả lời có thể thực sự làm sáng tỏ mọi thứ một chút và cung cấp tài liệu tham khảo.
Có cả một lĩnh vực khoa học máy tính lý thuyết nghiên cứu khả năng tính toán trong phân tích, đại số và cấu trúc liên kết. Tầm quan trọng trung tâm là khái niệm khả năng tính toán cho các số thực. Trong thực tế , giấy gốc của Turing trên máy Turing bắt đầu bằng câu sau:
Các số "tính toán" có thể được mô tả ngắn gọn là các số thực có biểu thức dưới dạng thập phân có thể tính được bằng các phương tiện hữu hạn.
Đôi khi nó trả tiền để quay trở lại nguồn.
Có một số cách để thiết lập khả năng tính toán trên các tập hợp chung, trong đó một trong những cách tổng quát nhất là lý thuyết khả thi . Ý tưởng về lý thuyết khả thi quay trở lại bài báo của Kleene Về việc giải thích lý thuyết số trực giác từ năm 1945, nhưng từ đó đã được khái quát hóa và phát triển thành một nhánh nhỏ của khả năng tính toán, với sự kết hợp tốt của lý thuyết thể loại, ví dụ như cuốn sách của Jaap van Oosten "Realizability: giới thiệu về khía cạnh phân loại của nó" (Nghiên cứu về logic và nền tảng của toán học, tập 152, Elsevier, 2008).
Hãy để tôi mô tả ý tưởng về tính khả thi rất ngắn gọn và thảo luận về yêu cầu "phối hợp miễn phí" của bạn sau này. Bắt đầu với một mô hình tính toán, chẳng hạn như máy Turing, -calculus, ngôn ngữ lập trình hoặc bất kỳ đại số kết hợp một phần nào khác (thậm chí bạn có thể lấy một số không gian tôpô nhất định để làm "mô hình tính toán", công cụ này là chung ). Để cụ thể, chúng ta hãy xem xét máy Turing. Chúng tôi mã hóa các máy Turing theo số tự nhiên, nhưng lưu ý rằng tôi có thể đã thực hiện một số mô hình tính toán khác, vì vậy bạn không nên cho rằng việc sử dụngλNNlà trong bất kỳ cách thiết yếu ở đây. (Khả năng khác bao gồm: các Powerset các số tự nhiên, chuỗi vô hạn các số tự nhiên, cú pháp của untyped λ -calculus, một số loại trò chơi, vv)
X⊩XNXx ∈ X n ∈ N n ⊩ X x n x ∈ Xx ∈ Xn ∈ Nn ⊩Xxnx ∈ X
Với hai hội và , một bản đồ được nhận ra (hoặc "tính toán") nếu có một máy Turing , như vậy, bất cứ khi nào thì chấm dứt và . Một lần nữa, đây là phiên âm trực tiếp ý nghĩa của "chương trình" một chức năng trừu tượng : máy Turing tương ứng thực hiện để biểu diễn dữ liệu bất cứ điều gì làm với các phần tử tương ứng.( X, ⊩X)( Y, ⊩Y)f: X→ YT n ⊩ X x T ( n ) T ( n ) ⊩ Y f ( x ) f fTn ⊩XxT( n )T( N ) ⊩Yf( x )ff
Các hội đồng có thể được mở rộng thành một topos khả thi . Một topos là một mô hình của toán học trực giác bậc cao. Điều này cho chúng ta biết rằng mọi topos khả thi (có một mô hình cho mỗi mô hình tính toán) chứa rất nhiều đối tượng thú vị. Chẳng hạn, nó chứa một đối tượng của các số thực, do đó cung cấp cho chúng ta khả năng tính toán trên các số thực. Nhưng nó cũng chứa nhiều đối tượng khác, chẳng hạn như không gian Hilbert, không gian Banach, không gian của bản đồ trơn, v.v. Bạn đã yêu cầu một số cấu trúc tính toán khác, nhưng bạn có một thứ tốt hơn nhiều: toàn bộ thế giới toán học có thể tính toán được.
Vì lý thuyết thể loại và đỉnh cao có thể đáng sợ và đòi hỏi một số trình độ kỹ thuật thành thạo về lý thuyết tính toán, lý thuyết thể loại và logic, chúng tôi cũng có thể làm việc chỉ trong một topos cụ thể, nhưng chúng tôi thể hiện mọi thứ theo những cách không trừu tượng cụ thể. Một thế giới tính toán đặc biệt tốt phát sinh từ tính khả thi của hàm Kleene và được đặt dưới tên phân tích tính toán .
Hãy để tôi nhận xét về yêu cầu "phối hợp miễn phí":
Chuyển đổi giữa các mô hình tính toán cho các loại thế giới tính toán khác nhau. Điều này hơi giống như chuyển đổi giữa các trường khác nhau cho các loại đại số tuyến tính khác nhau.
Một tập hợp có thể được trang bị nhiều cấu trúc tính toán , giống như một tập các vectơ có nhiều cơ sở. Tuy nhiên, trong khi tất cả các cơ sở là tương đương, không phải tất cả các cấu trúc tính toán trên đều tương đương tính toán.X⊩ X X⊩XX
Nếu chúng ta làm việc cụ thể với các cấu trúc tính toán , thì giống như làm việc với ma trận trong đại số tuyến tính. Nó có thể rất hữu ích, nhưng không trừu tượng.( X, ⊩X)
Để làm việc theo kiểu "không phối hợp", chúng tôi làm việc trong một topos có thể thực hiện được và khai thác sức mạnh của lý thuyết thể loại (vâng, đó là một sự sáo rỗng nhưng nó hoạt động).
Chúng ta thậm chí có thể làm việc theo kiểu "không có thế giới": phát triển toán học theo logic trực giác, và sau đó diễn giải các kết quả theo các tiêu chí thực tế.