Có một khái niệm về khả năng tính toán trên các tập hợp khác với các số tự nhiên không?

10

Có một khái niệm về khả năng tính toán trên các tập hợp khác với các số tự nhiên không? Để tranh luận, hãy nói về tập hợp mà phỏng đoán với . $S$ $\mathbb{N}$

Thật hấp dẫn khi nói "vâng, chúng là những hàm có dạng trong đó là bất kỳ bijection và là bất kỳ hàm tính toán nào ". Tôi thận trọng với định nghĩa này vì hai lý do. $g \circ f \circ g^{-1}$ $g$ $\mathbb{N} \to S$ $f$ $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

Nó đặc quyền so với các bộ đếm khác. Tại sao đặc biệt khi xác định khả năng tính toán? Tôi muốn một định nghĩa tính toán "phối hợp miễn phí" mà không cần tham chiếu đến bất kỳ tập hợp đặc quyền nào giống như cách tôi có thể thích định nghĩa "tọa độ miễn phí" của khái niệm đại số tuyến tính mà không cần tham khảo bất kỳ cơ sở đặc quyền nào. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$
Nó đặt ra câu hỏi về sự lựa chọn của . Tôi nghi ngờ có thể tìm thấy mâu thuẫn bằng các lựa chọn bệnh lý đặc biệt của và . Ví dụ: nếu tôi chọn và một số mệnh đề không tính toán được thì có thực sự là trường hợp mà có thể tính toán được cho tất cả các tính toán không? $g$ $S$ $g$ $S = \mathbb{N}$ $g$ $g \circ f \circ g^{-1}$ $f$

Thật hấp dẫn khi yêu cầu trong định nghĩa rằng có thể tính toán được nhưng thật không may, điều đó đang đặt ra câu hỏi. $g$

Có một số cách chung để mô tả khả năng tính toán trên các tập hợp đếm được ngoài không? $\mathbb{N}$

computability

— Tom Ellis
nguồn

1

Vâng, ngoài , computability cũng thường được xác định trên , nơi là một bảng chữ cái hữu hạn ... Nhưng một lần nữa, những định nghĩa khác nhau bởi một tính toán song ánh (nghĩa là, theo một hướng, nó có thể tính toán được bằng cách sử dụng định nghĩa và nghịch đảo là tính toán được bằng cách sử dụng định nghĩa ). Vì vậy, bạn chắc chắn có thể làm điều đó, trong đó và bạn đều có thể tính toán được, nhưng tôi đồng ý rằng đó là câu hỏi chung chung hơn ...

N

$\mathbb{N}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Σ

$\Sigma$

N \to Σ^{*}

$\mathbb{N} \to \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

g

$g$

g^{- 1}

$g^{-1}$

— Joshua Grochow

1

Thế còn mô hình tính toán như hệ thống ốp lát, automata di động, hệ thống thẻ, v.v.

— Marzio De Biasi

2

Tại sao chúng ta không nên đặc quyền so với các bộ đếm được khác? Chúng tôi có một lý do cực kỳ mạnh mẽ để làm như vậy: CPU, tức là thứ tính toán, hoạt động trên (hoặc chuỗi hữu hạn trên về cơ bản là cùng một thứ). Chắc chắn bạn có thể chọn các bộ khác, nhưng tại sao mọi người nên chấp nhận định nghĩa của bạn? Làm thế nào để bạn biện minh cho bất kỳ khiếu nại nào rằng cái mà bạn gọi là khả năng tính toán thực sự là gì, ngoại trừ bằng cách liên hệ nó với tính toán trên , tức là CPU?

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

B

$\mathbb{B}$

N

$\mathbb{N}$

— Martin Berger

1

@Martin, tôi đưa ra một lập luận trong câu trả lời của mình rằng chúng tôi đặc quyền hơn ít nhất ở một mức độ nhất định liên quan đến độ phức tạp thời gian. Lý do điều này là sai mà không có một số nội tâm là chúng ta có thể cho rằng một số kết quả nhất định là tự nhiên khi chúng thực sự chỉ là tạo tác của mô hình.

{0, 1}^{*}

$\{0,1\}^*$

N

$\mathbb{N}$

— Dan Brumleve

1

Có một số lý do bạn giới hạn sự chú ý chỉ vào các bộ đếm được?

— Andrej Bauer

12

Câu hỏi này không phải ở cấp độ nghiên cứu, nhưng vì nó đang nhận được câu trả lời, tôi muốn đưa ra một câu trả lời có thể thực sự làm sáng tỏ mọi thứ một chút và cung cấp tài liệu tham khảo.

Có cả một lĩnh vực khoa học máy tính lý thuyết nghiên cứu khả năng tính toán trong phân tích, đại số và cấu trúc liên kết. Tầm quan trọng trung tâm là khái niệm khả năng tính toán cho các số thực. Trong thực tế , giấy gốc của Turing trên máy Turing bắt đầu bằng câu sau:

Các số "tính toán" có thể được mô tả ngắn gọn là các số thực có biểu thức dưới dạng thập phân có thể tính được bằng các phương tiện hữu hạn.

Đôi khi nó trả tiền để quay trở lại nguồn.

Có một số cách để thiết lập khả năng tính toán trên các tập hợp chung, trong đó một trong những cách tổng quát nhất là lý thuyết khả thi . Ý tưởng về lý thuyết khả thi quay trở lại bài báo của Kleene Về việc giải thích lý thuyết số trực giác từ năm 1945, nhưng từ đó đã được khái quát hóa và phát triển thành một nhánh nhỏ của khả năng tính toán, với sự kết hợp tốt của lý thuyết thể loại, ví dụ như cuốn sách của Jaap van Oosten "Realizability: giới thiệu về khía cạnh phân loại của nó" (Nghiên cứu về logic và nền tảng của toán học, tập 152, Elsevier, 2008).

Hãy để tôi mô tả ý tưởng về tính khả thi rất ngắn gọn và thảo luận về yêu cầu "phối hợp miễn phí" của bạn sau này. Bắt đầu với một mô hình tính toán, chẳng hạn như máy Turing, -calculus, ngôn ngữ lập trình hoặc bất kỳ đại số kết hợp một phần nào khác (thậm chí bạn có thể lấy một số không gian tôpô nhất định để làm "mô hình tính toán", công cụ này là chung ). Để cụ thể, chúng ta hãy xem xét máy Turing. Chúng tôi mã hóa các máy Turing theo số tự nhiên, nhưng lưu ý rằng tôi có thể đã thực hiện một số mô hình tính toán khác, vì vậy bạn không nên cho rằng việc sử dụng $\lambda$ $\mathbb{N}$ là trong bất kỳ cách thiết yếu ở đây. (Khả năng khác bao gồm: các Powerset các số tự nhiên, chuỗi vô hạn các số tự nhiên, cú pháp của untyped $\lambda$ -calculus, một số loại trò chơi, vv)

$X$ $\Vdash_X$ $\mathbb{N}$ $X$ $x \in X$ $n \in \mathbb{N}$ $n \Vdash_X x$ $n$ $x \in X$

Với hai hội và , một bản đồ được nhận ra (hoặc "tính toán") nếu có một máy Turing , như vậy, bất cứ khi nào thì chấm dứt và . Một lần nữa, đây là phiên âm trực tiếp ý nghĩa của "chương trình" một chức năng trừu tượng : máy Turing tương ứng thực hiện để biểu diễn dữ liệu bất cứ điều gì làm với các phần tử tương ứng. $(X, {\Vdash_X})$ $(Y, {\Vdash_Y})$ $f : X \to Y$ $T$ $n \Vdash_X x$ $T(n)$ $T(n) \Vdash_Y f(x)$ $f$ $f$

Các hội đồng có thể được mở rộng thành một topos khả thi . Một topos là một mô hình của toán học trực giác bậc cao. Điều này cho chúng ta biết rằng mọi topos khả thi (có một mô hình cho mỗi mô hình tính toán) chứa rất nhiều đối tượng thú vị. Chẳng hạn, nó chứa một đối tượng của các số thực, do đó cung cấp cho chúng ta khả năng tính toán trên các số thực. Nhưng nó cũng chứa nhiều đối tượng khác, chẳng hạn như không gian Hilbert, không gian Banach, không gian của bản đồ trơn, v.v. Bạn đã yêu cầu một số cấu trúc tính toán khác, nhưng bạn có một thứ tốt hơn nhiều: toàn bộ thế giới toán học có thể tính toán được.

Vì lý thuyết thể loại và đỉnh cao có thể đáng sợ và đòi hỏi một số trình độ kỹ thuật thành thạo về lý thuyết tính toán, lý thuyết thể loại và logic, chúng tôi cũng có thể làm việc chỉ trong một topos cụ thể, nhưng chúng tôi thể hiện mọi thứ theo những cách không trừu tượng cụ thể. Một thế giới tính toán đặc biệt tốt phát sinh từ tính khả thi của hàm Kleene và được đặt dưới tên phân tích tính toán .

Hãy để tôi nhận xét về yêu cầu "phối hợp miễn phí":

Chuyển đổi giữa các mô hình tính toán cho các loại thế giới tính toán khác nhau. Điều này hơi giống như chuyển đổi giữa các trường khác nhau cho các loại đại số tuyến tính khác nhau.
Một tập hợp có thể được trang bị nhiều cấu trúc tính toán , giống như một tập các vectơ có nhiều cơ sở. Tuy nhiên, trong khi tất cả các cơ sở là tương đương, không phải tất cả các cấu trúc tính toán trên đều tương đương tính toán. $X$ $\Vdash_X$ $X$
Nếu chúng ta làm việc cụ thể với các cấu trúc tính toán , thì giống như làm việc với ma trận trong đại số tuyến tính. Nó có thể rất hữu ích, nhưng không trừu tượng. $(X, {\Vdash_X})$
Để làm việc theo kiểu "không phối hợp", chúng tôi làm việc trong một topos có thể thực hiện được và khai thác sức mạnh của lý thuyết thể loại (vâng, đó là một sự sáo rỗng nhưng nó hoạt động).
Chúng ta thậm chí có thể làm việc theo kiểu "không có thế giới": phát triển toán học theo logic trực giác, và sau đó diễn giải các kết quả theo các tiêu chí thực tế.

— Andrej Bauer
nguồn

Tôi không thấy lựa chọn

ở đây tương tự như lựa chọn

là trường mà chúng ta có thể xem xét các không gian vectơ. Thay vào đó, khái niệm "quan hệ có thể thực hiện" đối với tôi dường như giống như xác định ý nghĩa của nó có thể đo được bằng cách xác định thước đo Borel trên

và sau đó tuyên bố "một không gian có thể đo được là bất cứ thứ gì tạo ra với

và hàm có thể đo được là bất cứ thứ gì tạo ra một bản đồ có thể đo lường được

.

N

$\mathbb{N}$

R

$\mathbb{R}$

R

$\mathbb{R}$

R

$\mathbb{R}$

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

— Tom Ellis

Các không gian có thể đo được phát sinh tự nhiên từ (một số) không gian tôpô và nó thường được coi là một định lý cho rằng các không gian rời rạc có thể đo được đẳng cấu với . Điều tôi lý tưởng muốn tìm là sự tương tự lý thuyết tính toán của công trình trước đây. Cấu trúc cơ bản làm phát sinh thứ gì đó bạn có thể tính toán là gì? Một sự tương ứng với , được áp đặt bởi fiat, không đặc biệt thỏa mãn.

R

$\mathbb{R}$

N

$\mathbb{N}$

— Tom Ellis

Không có "sự lựa chọn của ", chỉ có sự lựa chọn của một mô hình tính toán. Nếu do "lựa chọn " có nghĩa là "chúng ta hãy sử dụng máy Turing (mã hóa bằng số)", sau đó quan điểm của tôi là thế này: đối với mỗi lựa chọn cấu trúc computability bạn sẽ có được một realizability topo . Điều này giống như: cho mỗi sự lựa chọn của một trường bạn sẽ có được loại của không gian véc tơ trên .

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

S

$\mathbb{S}$

R T (S)

$\mathrm{RT}(\mathbb{S})$

F

$F$

{V e c t}_{F}

$\mathrm{Vect}_F$

F

$F$

— Andrej Bauer

Áp đặt các biện pháp trên các tập hợp thực sự giống như áp đặt các cấu trúc tính toán trên các tập hợp. Và trong cả hai trường hợp, một số bộ có cấu trúc tự nhiên liên quan đến chúng.

— Andrej Bauer

2

Andrej thân mến, hãy để tôi cảm ơn bạn đã phản hồi. Tôi rất vui vì một cựu chiến binh 20 năm của lĩnh vực này sẽ dành thời gian để khai sáng một người mới như tôi hơn là bỏ phiếu để đóng câu hỏi của tôi là vô nghĩa. Tôi cũng vui lòng suy luận rằng lý thuyết topos và các trang trên nLab hiện được coi là có thể truy cập được đối với những người ở cấp độ nghiên cứu trước.

— Tom Ellis

4

Hai bài báo dưới đây phát triển một khái niệm về khả năng tính toán cho các tập hợp tùy ý. Điều thú vị là ngay cả một khái niệm về lý thuyết phức tạp cũng có thể được định nghĩa cho mô hình tính toán này.

Các hàm tập hợp đệ quy Cobham và các lý thuyết tập hợp yếu Arnold Beckmann, Sam Buss, Sy-David Friedman, Moritz Müller, Neil Thapen.

Đệ quy giới hạn tập hợp con và mô hình mạch cho các hàm đệ quy Cobham Arnold Beckmann, Sam Buss, Sy-David Friedman, Moritz Müller, Neil Thapen.

— Mateus de Oliveira Oliveira
nguồn

0

Có một khái niệm về sự phức tạp và tính toán so với thực tế. Một cuốn sách giáo khoa tôi sẽ hướng dẫn bạn là: https://www.amazon.com/Complexity-Real-Computing-Lenore-Blum/dp/0387982817

Tôi biết một phòng thí nghiệm nghiên cứu cụ thể về điều này: https://complexity.kaist.ac.kr/

— MRC
nguồn

Điều đó không đặc biệt thực tế vì nó ngụ ý rằng nhà tiên tri dừng là có thể tính toán được.

— Andrej Bauer

-1

Điều này tương tự như cách chúng tôi xác định khả năng tính toán theo các máy Turing và sau đó nhanh chóng quên đi các máy Turing. Vì hóa ra máy Turing cũng là một định nghĩa tốt như bất kỳ máy nào khác, chúng tôi sử dụng nó như một mỏ neo cho toàn bộ lớp mô hình tương đương và chúng tôi kết thúc với cùng một lớp cho dù chúng tôi tạo ra từ phần tử nào. Về cơ bản đây là luận điểm Church-Turing và nó định nghĩa tập hợp các chuỗi bit tính toán.

$S$ $S$ $S$ $S$

$S$ $S$ $\{0,1\}^*$ $O(1)$ $S$

Vì vậy, tôi nghĩ rằng câu trả lời cho câu hỏi của bạn là KHÔNG. Chúng ta phải xác định khả năng tính toán cho từng bộ mà chúng ta muốn nói đến, bởi vì có những định nghĩa không tương đương. Ngoài một cuộc thảo luận rất kỹ thuật hoặc sư phạm thì không cần thiết, vì một người hợp lý có thể tưởng tượng một định nghĩa hợp lý một cách độc lập.

$S$ $S$ $S$ $\{0,1\}^*$

$r \in \mathbb{N}$ $r$ $g \in \mathbb{N}$ $g$ $23$ $23$ $\mathbb{N}^2$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}^2$ $\mathbb{N}$

Vì vậy, để tránh toàn bộ cuộc thảo luận, không chỉ nên hiểu rằng tồn tại một định nghĩa hợp lý về khả năng tính toán trên tập hợp được đề cập, mà còn có chính xác một lớp định nghĩa hợp lý.

$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

— Dan Brumleve
nguồn