Liệu thuật toán

13

Tôi có một câu hỏi (hy vọng đơn giản, có thể ngớ ngẩn) trên tờ giấy mốc của Babai cho thấy là quasipolynomial. $\mathsf{GI}$

Babai đã chỉ ra cách tạo chứng chỉ rằng hai đồ thị cho là đẳng cấu, theo thời gian quasipolynomial trong . $G_i=(V_i,E_i)$ $i\in\{1,2\}$ $v=|V_i|$

Có phải Babai thực sự chỉ ra cách tìm một phần tử hoán vị các đỉnh của đến , hay chứng chỉ chỉ là một tuyên bố tồn tại? $\pi\in S_v$ $G_1$ $G_2$

Nếu một nhà tiên tri nói với tôi rằng và là đẳng cấu, tôi vẫn cần xem qua tất cả hoán vị các đỉnh? $G_1$ $G_2$ $v!$

Tôi hỏi bởi vì tôi cũng nghĩ về tương đương nút. Theo như tôi biết, nó không biết là, nhưng nói phát hiện unknot đang ở . Trên thực tế, việc tìm kiếm một chuỗi các động tác Reidemeister mà việc tháo gỡ nút thắt vẫn có thể mất thời gian theo cấp số nhân ... $\mathsf{P}$

graph-isomorphism search-problem

— Điểm
nguồn

28

Những vấn đề này là tương đương đa thức. Thật vậy, giả sử rằng bạn có một thuật toán có thể quyết định xem hai biểu đồ có phải là đẳng cấu hay không, và nó tuyên bố rằng chúng là. Đính kèm một cụm có kích thước vào một đỉnh tùy ý của mỗi biểu đồ. Kiểm tra xem các đồ thị kết quả có phải là đẳng cấu hay không. Nếu có, thì chúng ta có thể kết luận rằng có một đẳng cấu ánh xạ các đỉnh tương ứng với nhau, do đó chúng ta có thể xóa chúng. Bằng cách lặp lại thử nghiệm này lần, chúng ta có thể tìm thấy hình ảnh (có thể) cho bất kỳ đỉnh nào. Sau này, chúng tôi đính kèm một cụm khác, lần này có kích thước $n+1$ $n$ $n+2$ $n+1,\ldots n+n$

— động vật
nguồn

1

Cảm ơn! Các tiện ích tương tự có hoạt động để hiển thị tập hợp các động tác Reidemeister liên quan đến hai nút thắt với nhau không, chỉ cho rằng chúng tương đương với nhau, hoặc điều này không được biết?

— Đánh dấu S

3

Tôi nghi ngờ, như trong trường hợp đó tôi thấy không có cách nào "phá hỏng" một giải pháp khả thi.

— domotorp

17

Cụ thể hơn đối với thuật toán của Babai: vâng, thuật toán không chỉ tìm thấy một đẳng cấu, nó tìm thấy các bộ tạo của nhóm tự động hóa (và do đó tìm thấy tất cả các đẳng cấu) một cách hiệu quả, như là một phần của thuật toán, mà không làm giảm câu trả lời của domotorp.

Về mặt quyết định sự tồn tại của một đẳng cấu (tương ứng, không xác định) so với thực sự tìm thấy một từ khóa, từ khóa để tìm kiếm là "tìm kiếm so với quyết định" hoặc "tìm kiếm để giảm quyết định" ("giảm tìm kiếm quyết định", v.v.). Việc giảm như vậy được biết đến với sự đẳng cấu đồ thị, cũng như các vấn đề hoàn thành NP, nhưng là một câu hỏi mở cho các cấu trúc đại số hơn như các nhóm, và, tôi tin rằng, các nút thắt, chính xác là vì chúng ta không biết cách thêm "tiện ích "Như trong câu trả lời của domotorp.

— Joshua Grochow
nguồn