Trên các bộ hoàn chỉnh thưa thớt và P vs L

Định lý của Mahaney cho chúng ta biết rằng nếu có một -complete thưa thớt được đặt dưới các mức giảm nhiều lần một đa thức, thì . (Xem " Bộ hoàn chỉnh thưa thớt cho NP: Giải pháp phỏng đoán Berman và Hartmanis ")$NP$$P = NP$

Có hậu quả được biết đến của sự tồn tại của các bộ hoàn chỉnh thưa thớt cho các lớp phức tạp khác không? Cụ thể, nếu có một -complete thưa thớt được đặt dưới logspace nhiều mức giảm một, thì điều đó có nghĩa là ?$P$$P = L$

Đúng, chính xác những gì bạn đề xuất là đúng: nếu có một -complete được đặt dưới mức giảm nhiều không gian log-log, thì . Điều này đã được phỏng đoán bởi Hartmanis vào năm 1978 và được chứng minh bởi Cai và Sivakumar vào năm 1995. Xem bài viết này .$\mathbf{P}$$\mathbf{P} = \mathbf{L}$

Hartmanis cũng phỏng đoán rằng nếu có một tập hợp thưa thớt được đặt dưới mức giảm nhiều không gian log-log, thì . Điều này cũng đã được Cai và Sivakumar chứng minh vào năm 1997; thấy giấy này khác .$\mathbf{NL}$$\mathbf{NL} = \mathbf{L}$