Biến thể sau đây trên Set Cover được gọi là gì?

15

Các biến thể sau đây trên bìa thiết lập được gọi là gì?

Cho một tập hợp S, tập hợp C gồm các tập con của S và số nguyên dương K, có tồn tại tập K trong C sao cho mọi cặp phần tử của S nằm trong một trong các tập con được chọn.

Lưu ý: Không khó để thấy rằng vấn đề này là NP-Complete: Đưa ra một vấn đề bao trùm bình thường (S, C, K), tạo ba bản sao của S, nói S ', S' 'và S' '', sau đó tạo các tập con của bạn dưới dạng S '' ', | S | các tập hợp con có dạng {a '} U {x trong S' '| x! = a} U {a '' '}, | S | các tập hợp con có dạng {a ''} U {x in S '| x! = a} U {a '' '}, {a', a '' | a trong C_i}. Sau đó, chúng ta có thể giải quyết vấn đề bìa tập hợp với các tập con K nếu chúng ta có thể giải bài toán bao gồm cặp với K + 1 + 2 | S | tập hợp con.

Điều này khái quát đến ba lần, v.v. Tôi muốn có thể không lãng phí nửa trang để chứng minh điều này, và có lẽ không đủ rõ ràng để coi là tầm thường. Nó chắc chắn đủ hữu ích khi ai đó đã chứng minh điều đó, nhưng tôi không biết ai hay ở đâu.

Ngoài ra, có nơi nào tốt để tìm kiếm kết quả NP-Hoàn thành không có ở Garey và Johnson không?

np-hardness set-cover cc.complexity-theory

— deinst
nguồn

7

Để trả lời câu hỏi thứ hai của bạn, phần tóm tắt về kết quả độ cứng NP của Kahn-Crescenzi là một nguồn có giá trị cho kết quả độ cứng và cũng bao gồm nhiều biến thể của các vấn đề G & J cốt lõi. T ông nhập cảnh cho bộ trang bìa là một ví dụ tốt về điều này.

— Suresh Venkat
nguồn

2

Tôi đã thấy điều đó trước đây, và vâng, nó có ích, nhưng nó thậm chí không bắt đầu làm trầy xước bề mặt của những gì đã được chứng minh NP-Complete. Để đưa ra một ví dụ khác, tôi mất nhiều thời gian hơn để tìm ra bằng chứng của Uehara rằng Vertex Cover đã hoàn thành NP trên biểu đồ phẳng 3 khối được kết nối so với khi tôi chứng minh điều đó. (Bằng chứng của cô ấy sạch sẽ hơn tôi nhiều.)

— deinst

7

Có vẻ như bạn đang khái quát hóa bộ bìa để xem xét không chỉ các yếu tố của S, mà mọi tập hợp con cỡ M của S. Chúng ta có thể nói rõ vấn đề hơn:

"Cho một tập hợp S, tập hợp C gồm các tập con của S và số nguyên dương m, số phần tử C nhỏ nhất sao cho mỗi tập con cỡ M của S nằm trong một trong các phần tử được chọn của C?"

Điều này thực sự gây ấn tượng với tôi như là một sự khái quát hóa khá rõ ràng của bìa set, và không phải là thứ bạn cần dành thời gian để chứng minh NP-perfect vượt quá một dòng. Rốt cuộc, chọn m = 1 phục hồi vấn đề bao gồm bộ gốc. Có lẽ công thức tổng quát hơn này là đủ tốt cho mục đích của bạn để tránh cần phải đi vào chi tiết?

Câu hỏi của bạn về một bộ kết quả hoàn thành NP được cập nhật là một câu hỏi hay và xứng đáng với câu hỏi của riêng nó. Crescenzi và Kann đã đưa ra một bản tóm tắt hữu ích trực tuyến tại đây .

Thứ hai, nó hầu như không phổ biến, nhưng Hướng dẫn thiết kế thuật toán của Steven Skiena thường là điểm dừng đầu tiên hữu ích cho một số lượng lớn các vấn đề và có sẵn một phần trực tuyến .

— Anand Kulkarni
nguồn

Tôi chỉ quan tâm đến m = 2. Có thể có bằng chứng một dòng, nhưng bằng chứng cho biết đã thoát khỏi tôi. Tôi tin rằng tôi đã nói rõ rằng trong câu thứ hai của câu hỏi.

— deinst

Lời xin lỗi; Tôi không có ý đề nghị rằng có một bằng chứng ngắn trong trường hợp cặp đôi! Bằng chứng một dòng mà tôi đề xuất chỉ có trong phiên bản chung của vấn đề: "trường hợp đặc biệt của m = 1 phục hồi nắp bộ tiêu chuẩn". Như bạn đã chỉ ra, bằng chứng trong trường hợp cặp đôi là rõ ràng (giới thiệu các phần tử giả và các bộ cho bìa tập hợp tiêu chuẩn để tạo bìa tập hợp được ghép nối), nhưng vâng, sẽ mất vài dòng để hiển thị chính thức. Tôi sẽ xem liệu tôi có thể tìm thấy bất kỳ tài liệu tham khảo nào trong tài liệu này không.

— Anand Kulkarni