Xác suất mà một hàm Boolean ngẫu nhiên có một nhóm tự động hóa tầm thường là gì?

Với một hàm Boolean , chúng tôi có nhóm automorphism Một u t ( f ) = { σ ∈ S n | ∀ x , f ( σ ( x ) ) = f ( x ) } .$f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

Có bất kỳ giới hạn tiếng trên ? Có bất cứ điều gì được biết đến với số lượng của mẫu P r f ( G ≤ A u t ( f ) ) cho một số nhóm G không?$Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Đúng. Đối với câu hỏi đầu tiên của bạn, xác suất sẽ về 0 nhanh theo cấp số nhân. Điều này có thể được tính như sau. Với mỗi hoán vị , chúng ta có thể ràng buộc xác suất rằng π ∈ A u t ( f ) , tức là f ( π ( x ) ) = f ( x ) với mọi x ∈ { 0 , 1 } n . Hãy xem xét các quỹ đạo của π hoạt động trên { 0 , 1 } n . Chúng tôi có mà $\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$là một tính tự động của iff f là hằng số trên các chất hấp thụ π . Nếu π là không cần thiết, nó có ít nhất một quỹ đạo trên [ n ] không phải là một đơn vị, và do đó ít nhất là trên quỹ đạo trên { 0 , 1 } n không phải là một đơn vị. Giả sử quỹ đạo có k phần tử trong đó. Do đó xác suất mà f không đổi trên quỹ đạo đó chính xác là 2 - ( k - 1 ) . Giả sử rằng π diễn xuất trên [ n ] có$f$$f$$\pi$$\pi$$[n]$$\{0,1\}^n$$k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$ điểm cố định, c 2 chu kỳ có độ dài 2, v.v. (cụ thể là ∑ n i = 1 i c i = n ). Khi đó số điểm của { 0 , 1 } n được cố định bởi π chính xác là 2 ∑ i c i . Tất cả các điểm còn lại của { 0 , 1 } n đều nằm trong quỹ đạo không cần thiết của π . Để giới hạn trên xác suất rằng π ∈ A u t $c_1$$c_2$$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$ , lưu ý rằng khả năng tốt nhất là nếu tất cả các phần tử không cố định của { 0 , 1 } n có quỹ đạo có kích thước 2. Vì vậy, chúng ta nhận được P r ( π ∈ A u t ( f ) ) ≤ ( 1 / 2 ) M / 2 nơi M = 2 n - 2 Σ i c i . Bây giờ, chúng tôi muốn giới hạn dưới trên M , có nghĩa là chúng tôi muốn giới hạn trên trên ∑ i $\pi \in Aut(f)$$\{0,1\}^n$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$ . Kể từ pi ≠ 1 , lớn nhất Σ c i có thể là khi c 1 = n - 2 và c 2 = 1 , tức là Σ c i = n - 1 và M = 2 n - 2 n - 1 = 2 n - 1 , để M ≥ 2 n - 1 và P r ( pi $\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$$\sum c_i = n-1$$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$ . Bây giờ áp dụng liên kết ràng buộc: | S n | = n ! , Vì vậy P r ( ( ∃ pi ∈ S n ) [ pi ≠ 1  và  pi ∈ Một u t ( f ) ] ) ≤ n ! 2 - 2 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$$|S_n| = n!$ , mà về cơ bản là2nlgn- 2 n - 2 →0khin→∞, khá nhanh chóng.$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

Đối với bất kỳ nào, bạn có thể sử dụng lý do tương tự, nhưng xác suất cũng sẽ nhanh chóng về không.$G \leq S_n$