Là nhóm abelian đẳng cấu trong

An $O(n^2)$thuật toán thời gian chạy cho đẳng cấu nhóm abelian là dễ dàng để xem. Sau này làm việc về vấn đề này vào năm 2003 Vikas cải thiện kết quả từ$O(n^2)$ thời gian chạy đến $O(n \log n)$. Năm 2007, Kavitha đã chỉ ra rằng sự đồng hình của nhóm abelian có thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính tức là$O(n)$ thời gian.

Tôi biết rằng đẳng cấu nhóm abelian khi các nhóm được đưa ra bởi biểu diễn bảng nằm trong $\mathsf{TC^0}$. Có bài nghiên cứu hay bài báo nào cho thấy nó nằm trong$\mathsf{AC^0}$? Tôi đã cố gắng để google nhưng chỉ nhận được kết quả là nó nằm trong$\mathsf{TC^0}$.

Câu hỏi: Là nhóm đẳng cấu abelian (nhóm được đưa ra trong bảng đại diện) trong $\mathsf{AC^0}$

Trái ngược với những gì được nêu trong câu hỏi, sự đồng hình của nhóm abelian không được biết là nằm trong$\mathrm{TC^0}$. Không cần phải nói, điều này cũng có nghĩa là nó không được biết là ở trong$\mathrm{AC^0}$.

Những gì được biết là quan sát sau đây từ [1]. Để cho$\mathrm{pow}$ biểu thị vấn đề sau: đưa ra bảng nhân của một nhóm abelian $(A,{\cdot})$, các yếu tố $a,b\in A$và $m$ trong unary, xác định nếu $b=a^m$. Định lý cấu trúc cho các nhóm abel hữu hạn dễ dàng ngụ ý rằng nếu$A,B$ là hai nhóm kích thước như vậy $n$, sau đó

Vì chúng ta có thể đếm các tập kích thước đa thức trong $\mathrm{TC^0}$, chúng tôi đạt được

Mệnh đề 1: Sự đồng hình của nhóm Abelian có thể tính toán được trong$\mathrm{TC^0(pow)}$.

Hiện nay, $\mathrm{pow}$rõ ràng có thể tính toán được trong L, và như thể hiện trong [2], cũng trong lớp FOLL. Như vậy

Hệ quả 2: Sự đồng hình của nhóm Abel là tính toán trong$\mathrm{L}$ và trong $\mathrm{TC^0(FOLL)}$.

Không biết là $\mathrm{pow}$ có thể tính toán trong $\mathrm{TC^0}$.

Có vẻ như Corollary 2 là kết quả được biết đến nhiều nhất khi nói đến các lớp thông thường, đa thức có kích thước đa thức, các lớp. Tuy nhiên, tôi quan sát thấy vấn đề nằm ở phiên bản quasipolynomial của$\mathrm{AC^0}$:

Mệnh đề 3: Sự đẳng cấu của nhóm Abel có thể tính toán được bằng một chuỗi thống nhất các mạch Boolean có độ sâu không đổi kích thước quasipolynomial; cụ thể hơn, nó nằm trong$\Sigma_2\text-\mathrm{TIME}\bigl((\log n)^2\bigr)$.

(Điều này chuyển thành một họ thống nhất gồm 3 mạch có chiều sâu $2^{O((\log n)^2)}$, trong đó các bất đồng phía dưới chỉ có quạt $O\bigl((\log n)^2\bigr)$; độ sâu này thường được gọi là độ sâu$2\frac12$Mùi.)

Mệnh đề 3 một lần nữa là hệ quả của định lý cấu trúc đối với các nhóm abel hữu hạn: bất kỳ nhóm nào như vậy có thể được viết dưới dạng tổng trực tiếp của $O(\log n)$ phân nhóm theo chu kỳ, do đó các nhóm $A$ và $B$ là iff đẳng hình, chúng có thể được viết dưới dạng tổng trực tiếp của các nhóm con tuần hoàn với các lệnh khớp: đó là, nếu $|A|=|B|=n$, sau đó $A\simeq B$ iff

có tồn tại

• một chu kỳ $\{m_i:i<k\}$ của $k\le\log n$ số nguyên $m_i\le n$

• trình tự $\{a_i:i<k\}\subseteq A$ và $\{b_i:i<k\}\subseteq B$

như vậy mà

• $\prod_{i<k}m_i=n$

• $a_i^{m_i}=1$ và $b_i^{m_i}=1$ cho mỗi $i<k$

• cho tất cả các chuỗi$\{r_i:i<k\}$ của số nguyên $0\le r_i<m_i$, không phải tất cả bằng không:

  $\prod_{i<k}a_i^{r_i}\ne1$ và $\prod_{i<k}b_i^{r_i}\ne 1$

Hai định lượng chính được tô sáng. Để thấy rằng các giới hạn đã nêu không bị vượt quá, chúng ta cần chỉ ra rằng các danh tính$\prod_{i<k}a_i^{r_i}=1$ có thể được kiểm tra $\mathrm{NTIME}\bigl((\log n)^2\bigr)$. Điều này có thể được thực hiện bằng cách đoán liên tiếp và xác minh giá trị của các sản phẩm bộ phận$\prod_{i<l}a_i^{r_i}$ cho $l=0,\dots,k$; hơn nữa, cho mỗi$i$, chúng tôi cũng đoán và xác minh tương tự $O(\log r_i)$ kết quả một phần của tính toán $a_i^{r_i}$bằng cách lặp lại bình phương. Tổng cộng, điều này làm cho$O\left(\sum_i\log r_i\right)\subseteq O\left(\sum_i\log m_i\right)\subseteq O(\log n)$ đoán, mỗi trong số đó $O(\log n)$ thời gian xác minh.

Có một cách khác để chứng minh Dự luật 3: cụ thể là, lưu ý rằng trong $(*)$, chúng ta chỉ cần xem xét $m$ đó là quyền hạn chính: $m=p^e$. Trong trường hợp đó, hai bộ vi phạm mà chúng ta cần đếm cũng có kích thước là sức mạnh của$p$; đặc biệt, nếu chúng không bằng nhau, chúng khác nhau bởi một yếu tố ít nhất là$p$. Như vậy, đủ để đếm kích thước của hai bộ xấp xỉ . Điều này có thể được thực hiện trong quasipolynomial$\mathrm{AC^0}$sử dụng bổ đề mã hóa của Sipser. Và như tôi đã chỉ ra,$\mathrm{pow}$ có thể được tính trong quasipolynomial $\mathrm{AC^0}$ bằng cách lặp lại bình phương.

Một hậu quả của Dự luật 3 là nếu vấn đề đẳng cấu abelian hóa ra không xảy ra $\mathrm{AC^0}$, điều này có thể khá khó để chứng minh: đặc biệt, người ta không thể giảm PARITY hoặc MAJORITY cho vấn đề này, vì những điều này đòi hỏi các mạch có độ sâu giới hạn kích thước theo cấp số mũ , không phải là quasipolynomial. Ngay cả khi chúng tôi cố gắng giảm PARITY trên$m\ll n$ Vấn đề về bit, không có nhiều chỗ cho các tham số: cụ thể, PARITY của siêu đa bội, nhiều bit không thể tính được bằng các mạch có độ sâu không đổi kích thước quasipolynomial và PARITY của nhiều bit có thể tính toán được $\mathrm{AC^0}$ bằng cách chia và chinh phục.

Người giới thiệu:

[1] Arkadev Hayopadhyay, Jacobo Torán, Fabian Wagner: Không đồng hình hóa đồ thị$\mathrm{AC^0}$-có thể chuyển sang nhóm đẳng cấu , Giao dịch ACM trên Lý thuyết tính toán 5 (2013), không. 4, bài viết số 13, đổi: 10.1145 / 2540088 .

[2] David Mix Barrington, Peter Kadau, Klaus-Jörn Lange, Pierre McKenzie: Về sự phức tạp của một số vấn đề về các nhóm đầu vào như bảng nhân , Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống 63 (2001), không. 2, trang 186 Vang200, doi: 10.1006 / jcss.2001.1764 .