Sự phức tạp của vấn đề đồ thị này là gì?

Cho một đồ thị vô hướng đơn giản , tìm tập con các đỉnh, sao cho $G$ $A\neq \emptyset$

với mọi đỉnh ít nhất một nửa số lân cận của cũng nằm trong và $x\in A$ $x$ $A$
kích thước của là tối thiểu. $A$

Đó là, chúng tôi đang tìm kiếm một cụm, trong đó ít nhất một nửa vùng lân cận của mỗi đỉnh bên trong vẫn ở bên trong. Sự tồn tại đơn thuần của một cụm như vậy là rõ ràng, vì toàn bộ đỉnh $V(G)$ luôn có thuộc tính 1. Nhưng thật khó để tìm cụm nhỏ nhất (không trống) như vậy?

Có một tên tiêu chuẩn cho vấn đề này? Những gì được biết về sự phức tạp của nó?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Andras Farago
nguồn

Có vẻ như một biến thể của vấn đề Phân vùng đạt yêu cầu . Tôi không biết nếu biến thể của bạn được biết đến và đã được chứng minh là NPC; nhưng có lẽ việc giảm từ k-clique sẽ hoạt động: liên kết mỗi nút

của đồ thị ban đầu với các nút

của

"cụm ngoài" có kích thước

(mỗi nút có cụm ngoài của nó). Sau đó, bạn có thể tìm thấy một tập hợp

không cần thiết có kích thước

khi và chỉ khi một

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$ -clique tồn tại trong biểu đồ gốc (bạn phải chọn ít nhất một nút, nhưng bạn phải tránh bất kỳ cụm bên ngoài nào). Nhưng nó chỉ là một ý tưởng; nếu tôi có đủ thời gian tôi sẽ thử xem liệu mức giảm có đúng không.

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Cảm ơn bạn, sau một số tìm kiếm tôi phát hiện ra rằng Vấn đề phân vùng thỏa đáng thực sự có liên quan. Tuy nhiên, trong mọi biến thể mà tôi có thể tìm thấy, họ tìm kiếm một phân vùng, thay vì một bộ duy nhất. Không rõ, chúng có liên quan như thế nào. Trong phần giảm của bạn, trừ khi tôi hiểu nhầm điều gì đó, một biểu đồ

của biểu đồ gốc không thỏa mãn định nghĩa, vì mỗi nút trong nó sẽ có

lân cận bên trong, nhưng ít nhất là

lân cận bên ngoài, do được thêm vào bên ngoài bè phái.

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— Andras Farago

Tôi nghĩ vấn đề này được gọi là liên minh phòng thủ của người

— Hồi giáo

@daniello: tuyệt vời, tôi đã tìm kiếm trong cuộc khảo sát IG Yero, JA Rodriguez-Velazquez, "Liên minh phòng thủ trong đồ thị: một cuộc khảo sát", 2013 nhưng không tìm thấy từ "một nửa"; khi tôi có đủ thời gian tôi sẽ đọc nó một cách cẩn thận; Có vẻ như vấn đề OP đã được biết đến!

— Marzio De Biasi

Nó dường như được xây dựng là "mọi đỉnh có ít nhất nhiều hàng xóm bên trong như bên ngoài", giống như trong câu hỏi làm tròn, và có thể bao gồm / không bao gồm chính đỉnh trong số đếm

— daniello

Đây là một giảm từ Clique cho vấn đề của bạn.

Chúng ta bắt đầu với một thể hiện của Clique: đồ thị và số nguyên , đặt . $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

Clique vẫn là NPC ngay cả dưới ràng buộc rằng (bản phác thảo bằng chứng: if $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ sau đó thêm một trong đó $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ và kết nối nó với tất cả các nút của và yêu cầu một cụm có kích thước trong biểu đồ mới). $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

Vì vậy, chúng tôi giả sử rằng trong , . Với mỗi nút mà $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ chúng ta tạo một cụm "bên ngoài" có kích thước (mỗi nút của $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ clique có ít nhất hàng xóm). $C_i$ $2(k+1)$

Nếu là mức độ của , chúng tôi kết nối $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ với nút của . $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

Trong kết quả $G'$ , mỗi có mức độ ; vậy $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$ vì ít nhất một đỉnh phải được chọn.

Rõ ràng là nếu một trong các đỉnh của được bao gồm trong thì ít nhất nút cũng phải được chèn vào nó. Lưu ý rằng nếu một nút gốc có thì phải bao gồm ít nhất một nút của được liên kết , dẫn đến . $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

Vì vậy, chúng ta có thể xây dựng một bộ có kích thước tối thiểu khi và chỉ khi chứa một cụm kích thước . $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

Một ví dụ về mức giảm trong đó chúng tôi hỏi xem biểu đồ biểu thị bằng các nút màu vàng và các cạnh đậm có chứa một cụm kích thước (một hình tam giác) không. $G$ $k = 3$

Các nút màu xanh (được nhóm để dễ đọc hơn) là , các cạnh màu đỏ là các liên kết giữa các nút của với . $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— Marzio De Biasi
nguồn

@WillardZhan: vì mỗi đỉnh của

có độ

bằng cách xây dựng, vì vậy nếu

chứa một đỉnh, nó phải chứa ít nhất

người hàng xóm (và giống nhau áp dụng cho tất cả các đỉnh của

), vì vậy

. Các "kích thước tối thiểu"

có thể đạt được chỉ nếu

là một phe nhóm kích thước

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— Marzio De Biasi

@WillardZhan: Tôi đã thêm một điều kiện khác cho vấn đề clique bắt đầu (nhưng nó vẫn là NPC) ... Tôi vẫn đang kiểm tra nó (chưa hoàn toàn thuyết phục chính xác của nó).

— Marzio De Biasi

Vâng, bây giờ nó hoạt động hoàn hảo (mặc dù nó phải là

trong biểu thức của

). Có lẽ tôi sẽ xóa ý kiến của tôi?

k^{'}

$k'$

t

$t$

— Willard Zhan

@WillardZhan: Tôi nghĩ đó là đúng, bởi vì trong đoạn mà tôi đang đề cập đến việc giảm từ bè lũ [dụ

] để bè lũ + chế

[Ví dụ

là số lượng các nút (clique) để thêm vào G để có được phiên bản mới của Clique làm thỏa mãn các ràng buộc.

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$

— Marzio De Biasi