Độ phức tạp của kiểm tra nếu hai tập hợp điểm trong chỉ khác nhau bởi phép quay?

Hãy tưởng tượng chúng ta có hai tập hợp kích thước $m$ của các điểm $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ . Độ phức tạp của thời gian kiểm tra là gì nếu chúng chỉ khác nhau bởi phép quay? : tồn tại ma trận xoay $OO^T=O^TO=I$ sao cho $X=OY$ ?

Có một vấn đề về biểu diễn các giá trị thực ở đây - vì đơn giản giả sử rằng có một công thức đại số (ngắn) cho mỗi tọa độ, do đó chi phí cho các phép toán số học cơ bản có thể được giả sử là O (1).

Câu hỏi cơ bản là nếu vấn đề này là trong P?

Mặc dù thoạt nhìn, vấn đề này có vẻ đơn giản - thường là đủ để kiểm tra các chỉ tiêu của các điểm và quan hệ cục bộ như các góc, có những ví dụ khó chịu, ví dụ như nó tương đương với bài toán đẳng cấu đồ thị .

Cụ thể, nhìn vào không gian ma trận của ma trận kề của các đồ thị thông thường mạnh mẽ (SRG), chúng ta có thể đưa ra giải thích hình học . Dưới đây là ví dụ đơn giản nhất - hai SRG 16 đỉnh, trông giống hệt nhau, nhưng không phải là đẳng cấu:

Ma trận điều chỉnh của SRG luôn chỉ có ba giá trị riêng (của các công thức đã biết) - nhìn vào không gian điện tử cho eigenvalue 2 ở trên (kernel của ), nó có chiều 6 - cơ sở được viết ở trên. Việc chuẩn hóa nó (Gram-Schmidt), chúng ta có không gian rộng lớn của các cơ sở trực giao có thể có - khác nhau bởi phép quay , xoay "vectơ dọc": 16 chiều dài 6. Xác định tập hợp các vectơ đó như , ở đây và tương ứng cho biểu đồ thứ hai - chuyển đổi câu hỏi đẳng cấu đồ thị thành câu hỏi nếu và chỉ khác nhau bởi xoay. $A-2I$ $O(6)$ $X\subset \mathbb{R}^6$ $|X|=16$ $Y$ $X$ $Y$

Khó khăn là tất cả các điểm này nằm trong một hình cầu và tạo lại các mối quan hệ ban đầu: tất cả các hàng xóm (6 ở đây) ở góc cố định <90 độ, tất cả các không lân cận (9 ở đây) ở một góc cố định khác> 90 độ, như trong sơ đồ hình trên.

Vì vậy, kiểm tra dựa trên các góc chuẩn và góc cục bộ sẽ quay trở lại vấn đề đẳng cấu đồ thị ... nhưng giải thích hình học cho phép làm việc trên các thuộc tính toàn cầu như bất biến xoay.

Nói chung, một cách tiếp cận "toàn cầu" tự nhiên đang cố gắng mô tả cả hai bộ "xoay modulo" (chứa độ tự do), và sau đó chỉ cần kiểm tra xem cả hai mô tả có giống nhau không. $n(n-1)/2$

Chúng ta thường có thể định nghĩa các bất biến xoay - câu hỏi đang xây dựng một tập hợp bất biến xoay hoàn chỉnh: xác định hoàn toàn một phép quay modulo đã đặt.

Mặc dù tôi không thể tìm ra cách để bất biến xoay vòng thực tế trực tiếp làm việc trên các điểm (?), Nhưng nó có thể được thực hiện cho đa thức ( ngăn xếp ). Đối với đa thức bậc 2 , một cơ sở hoàn chỉnh của bất biến xoay vòng là ví dụ cho . Về mặt sơ đồ, chúng có thể được biểu diễn dưới dạng chu kỳ và chúng ta có thể xây dựng tương tự các bất biến xoay cho các đa thức bậc cao (câu hỏi còn lại là tính độc lập của chúng), ví dụ: mỗi đồ thị dưới đây tương ứng với một bất biến xoay vòng đơn vị 1,2,3,4 : $x^T A x$ $Tr(A^k)$ $k=1,\ldots,n$ $k$

Câu hỏi là làm thế nào để mô tả một tập hợp các điểm với đa thức - nói chung chúng ta cần đa thức bậc cao, ví dụ , nhưng các bộ cho SRG khá thông thường - có thể được mô tả chỉ với đa thức bậc 6: $p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x))$

p (z) = \sum_{x \in X} (x \cdot z - a)^{2} (x \cdot z - b)^{2} (x \cdot z - c)^{2}

$p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2$ trong đó mô tả định mức và góc trong các bộ thu được cho SRG đã cho (đã biết).

a, b, c

$a,b,c$

Vậy chúng ta có thể kiểm tra xem hai đa thức bậc 6 chỉ khác nhau bằng cách quay trong thời gian đa thức không? Nếu vậy, biểu đồ đẳng cấu cho SRG nằm ở P.

Có ví dụ nào khó khăn hơn (để kiểm tra nếu hai bộ chỉ khác nhau theo vòng quay) so với SRG không? Tôi nghi ngờ điều đó, cho phép giới hạn trên đa thức nhờ vào Babai (?)

Cập nhật : Tôi đã chỉ ra sự tương đồng với vấn đề Procrustes trực giao (đã giải quyết) :

min_{O : O^{T} O = I} ‖ O A - B ‖_{F} achieved for O = U V^{T}, where B A^{T} = U D V^{T}

$\min_{O:O^TO=I} \|OA-B\|_F \quad\textrm{achieved for}\quad O=UV^T,\quad\textrm{ where}\quad BA^T=UDV^T$

từ phân rã giá trị số ít. Chúng tôi có thể xây dựng các ma trận này từ các điểm của chúng tôi, tuy nhiên, nó sẽ yêu cầu biết thứ tự - mà chúng tôi không biết và cókhả năng. $m!$

Chúng ta có thể thử ví dụ: Monte-Carlo hoặc thuật toán di truyền: chuyển đổi một số điểm và kiểm tra cải thiện khoảng cách bằng công thức trên, tuy nhiên, tôi nghi ngờ rằng thuật toán heuristic như vậy có thể có số cực tiểu địa phương (?)

— Jarek Duda
nguồn

Chà, các ví dụ sát thủ cho các thuật toán đẳng cấu đồ thị thực tế không nhất thiết phải là SRG. Có hai bài báo của Daniel Neuen và Pascal Schweitzer mà tôi đã thảo luận ở đây , đưa ra những ví dụ khó khăn nhất hiện nay. Thảo luận của tôi tuyên bố rằng "cấu trúc đa bội ... về cơ bản là cấu trúc CFI bình thường được áp dụng cho siêu dữ liệu đa cạnh không bị chặn". Cấu trúc này được tiếp tục sửa đổi để làm cho nó cứng nhắc, loại bỏ tất cả các tự động. Nó không phải là SRG trước đó, nhưng sau đó chắc chắn sẽ không phải là SRG.

— Thomas Klimpel

Tôi nghĩ rằng việc tìm các thành phần chính của các tập hợp điểm và kiểm tra chúng sẽ giúp ích vì chuyển đổi PCA có một số thuộc tính khá hay.

— FazeL

ThomasKlimpel, bạn có thể nói điều gì đó về không gian của những ví dụ khó khăn khác không? @FazeL, giá trị riêng của ma trận tương quan từ PCA là ví dụ về bất biến xoay - điều kiện cần thiết để chỉ khác nhau bởi xoay (tầm thường đối với SRG). Vấn đề là để có được một điều kiện đủ, ví dụ thông qua một cơ sở hoàn chỉnh của các bất biến xoay - xác định hoàn toàn phép quay modulo tập hợp (hoặc đa thức). Đây là một cấu trúc chung cho đa thức: arxiv.org/pdf/1801.01058 , câu hỏi là làm thế nào để chọn đủ số lượng (đã biết) của bất biến độc lập?

— Jarek Duda

Những biểu đồ này đã được tô màu, Đối với cố định , có các màu mà các nút có màu đó và các màu mà 2 nút có màu đó. Về mặt eigenspaces, điều này có nghĩa là bạn nhận được nhiều eigenspaces của chiều , và thậm chí nhiều không gian eigenspaces của chiều . Ít nhất đó là những gì xảy ra nếu việc xây dựng CFI được áp dụng cho đồ thị vô hướng k-thường xuyên. (Nhưng đừng lo lắng, sự đồng hình của SRG cũng là một vấn đề mở.)

k

$k$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2

$2$

— Thomas Klimpel

Không gian eigenspaces của chiều thực sự có thể tách thành các không gian eigensp thậm chí nhỏ hơn, vì ngay cả đối với SRG, chúng tôi có nhiều hơn 1 không gian, nhưng logic ở trên sẽ cho thấy rằng chỉ có một không gian riêng. Hãy xem hình 4.2 trong bài báo ngắn hơn (lý thuyết hơn), để xem / hiểu những biểu đồ đó trông như thế nào.

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

— Thomas Klimpel

Tôi nghĩ rằng điều này là mở. Lưu ý rằng nếu thay vì kiểm tra tính tương đương theo các phép quay mà bạn yêu cầu tương đương trong nhóm tuyến tính chung, thì đã kiểm tra tính tương đương của đa thức bậc ba là GI-hard ( Agrawal-Saxena STACS '06 , phiên bản có sẵn miễn phí của tác giả ), và trên thực tế là tại ít nhất là khó như kiểm tra đẳng cấu của đại số. Bây giờ, độ cứng GI không phải là bằng chứng cho thấy vấn đề của bạn không nằm ở , vì thực tế, toàn bộ câu hỏi của bạn về cơ bản là liệu chúng ta có thể đưa GI vào $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ theo cách tiếp cận mà bạn đề xuất. Tuy nhiên, thực tế là sự tương đương dạng khối đã khó hơn GI (ví dụ, chúng ta vẫn không biết liệu đẳng cấu đại số có ở thời điểm gần như không, không giống như GI) cho thấy (a) mọi người đã nghĩ đến phương pháp này và (b) vẫn đang mở

Mặc dù tôi không biết chắc chắn nếu kết quả tương tự giữ cho nhóm trực giao, tôi sẽ ngạc nhiên nếu họ không giữ (đặc biệt nếu bạn chuyển từ độ 3 sang độ 6).

— Joshua Grochow
nguồn

Cảm ơn bạn, tôi thấy tôi có rất nhiều để đọc. Có phải việc kiểm tra khác nhau bằng cách xoay đa thức cũng trở nên khó khăn đối với bậc ba? Số lượng các hệ số là O (dim ^ độ), phép quay có hệ số mờ (dim-1) / 2, do đó, phép quay modulo mô tả đầy đủ phải được đưa ra bởi các bất biến xoay vòng độc lập O (dim ^ độ). Tôi biết cách xây dựng các bất biến xoay vòng ( arxiv.org/pdf/1801.01058 ), điều kiện độc lập có vẻ khó chứng minh, nhưng sự phụ thuộc cao dường như không thể xảy ra (?)

— Jarek Duda

@JarekDuda: Đối số tương tự bạn đưa ra trong nhận xét của mình sẽ áp dụng cho tương đương tuyến tính chung, ngoại trừ thay vì các hệ số bạn có , nhưng cả hai đều là . .. Sự phụ thuộc giữa bất biến thường là một câu hỏi rất sâu sắc. Ngoài ra, đó không chỉ là câu hỏi bạn cần bao nhiêu bất biến độc lập, mà (a) bạn có thể tính được bất biến nào bạn cần trong đa thời gian và (b) bạn có thể tính giá trị của mỗi bất biến đó trong đa thời gian không?

(\binom{d i m}{2})

$\binom{dim}{2}$

d i m^{2}

$dim^2$

Θ (d i m^{2})

$\Theta(dim^2)$

— Joshua Grochow

Chắc chắn, nếu chỉ có thể xây dựng một số lượng lớn các bất biến - trong khi tôi không biết liệu nó có đúng với các loại tương đương khác không (?), Đối với các bất biến xoay có xây dựng trong đó mỗi đồ thị đưa ra một bất biến, và có các cấu trúc hệ thống của số lớn, ví dụ như tương tự với đồ thị chu kỳ k cho bất biến Tr (A ^ k) cho đa thức bậc 2 x ^ T Ax. Đối với đa thức bậc cố định, chúng ta có thể tạo ra đủ số lượng (hoặc nhiều hơn nữa) các bất biến trong đa thời gian - vấn đề còn lại là đảm bảo đủ số lượng độc lập trong số chúng.

— Jarek Duda