Độ phức tạp tham số hóa bao gồm các ngôn ngữ thông thường

Tôi quan tâm đến vấn đề kinh điển ĐĂNG KÝ NGÔN NGỮ. Cho một biểu thức chính quy , chúng tôi biểu thị bằng ngôn ngữ thông thường liên quan đến nó. (Các biểu thức thông thường nằm trên một bảng chữ cái cố định , với liên kết hoạt động, ngôi sao Kleene và phép nối.)$E$$L(E)$$\Sigma$

Đầu vào: Hai biểu thức chính và Câu hỏi: Có đúng là không?$E_1$$E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

KẾT LUẬN NGÔN NGỮ THƯỜNG XUYÊN được biết là hoàn thành PSPACE [1].

Cách cổ điển để giải quyết nó (trong pspace) là xây dựng các NFAs và liên quan đến và , để xây dựng một DFA từ , bổ sung cho nó thành một DFA , và cuối cùng, xây dựng các nút giao automaton từ và tương ứng với giao điểm của và . Bây giờ khi và chỉ khi không có đường dẫn chấp nhận trong .$A_1$$A_2$$E_1$$E_2$$D_2$$A_2$$D_2^C$$A_P$$A_1$$D_2^C$$L(E_1)$$L(E_2)^C$$L(E_1)\subseteq L(E_2)$$A_P$

Nếu tôi không nhầm, toàn bộ quá trình có thể được thực hiện trong thời gian đa thức khi là một ngôn ngữ cố định, kể từ khi thổi lên chỉ mũ xuất phát từ chuyển vào . Thậm chí tốt hơn, vấn đề là FPT khi được tham số hóa bởi, độ dài của .$E_2$$A_2$$D_2$$|E_2|$$E_2$

Điều này thúc đẩy câu hỏi của tôi:

Câu hỏi: Khi là một biểu thức cố định, độ phức tạp của NGÔN NGỮ THƯỜNG XUYÊN là gì? Nó vẫn hoàn thành PSPACE?$E_1$

[1] LJ Stockmeyer và AR Meyer. Word vấn đề đòi hỏi thời gian theo cấp số nhân: báo cáo sơ bộ. Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề ACM hàng năm lần thứ năm về Lý thuyết tính toán, STOC '73, trang 1-9.

Lưu ý: Là một người không phải là chuyên gia trong lĩnh vực này, tôi thấy [1] (và các tài liệu liên quan thời đó) khá khó đọc và không thể tìm thấy bằng chứng nào khác về tính đầy đủ của PSPACE - bất kỳ con trỏ nào đến một bằng chứng hiện đại, như trong Một cuốn sách, rất đáng hoan nghênh! Ngoài ra, các tác giả dường như cho phép bình phương trong các biểu thức thông thường của họ, mà ngày nay khá là không chuẩn, tôi tin thế.)

Trường hợp cụ thể của tính phổ quát ngôn ngữ (tất cả các từ được chấp nhận?) Là PSPACE hoàn chỉnh cho các biểu thức thông thường hoặc NFA. Nó trả lời câu hỏi của bạn: nói chung, vấn đề vẫn hoàn thành PSPACE ngay cả đối với cố định , vì tính phổ biến ngôn ngữ tương ứng với .$E_1$$E_1=\Sigma^*$

Thật sự rất khó để tìm thấy một bằng chứng độ cứng PSPACE hiện đại có thể đọc được cho tính phổ quát biểu thức thông thường, vì nó hiện được coi là văn hóa dân gian. Dưới đây là sơ đồ chứng minh nhanh cho phép bạn xây dựng lại bằng chứng:

---

Hãy xem xét một máy Turing trên bảng chữ cái sử dụng đa thức không gian , và để cho được một từ đầu vào cho . Chúng tôi sẽ xây dựng một biểu thức chính quy chấp nhận tất cả các từ nếu và chỉ khi không chấp nhận chạy trên .$M$$\Sigma$$p(n)$$w\in\Sigma^*$$M$$e$$M$$w$

Hãy xem xét các ngôn ngữ gồm các từ có dạng , trong đó mỗi là một cấu hình của có độ dài chính xác ,$L_M$$\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$$C_i$$M$$p(n)$$C_0$$w$$C_f$$C_i\to C_{i+1}$$M$$L_M$$M$

$e$$\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$$e$$L_M$$L_M$$e$$e_1+e_2+\dots+e_k$$e_i$

$$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$$ $C_i$$p(n)$$C_i$$C_{i+1}$$C_i$$C_{i+1}$$t(\Sigma')^{p(n)}t'$$t$$t'$$M$ $$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$$ do đó, chúng tôi đã giảm (đa thức) một vấn đề PSPACE tùy ý thành tính phổ quát của biểu thức chính quy. Tôi đã bỏ qua một số chi tiết, nhưng điều này sẽ cho phép bạn xây dựng một bằng chứng hoàn chỉnh.

---

$E_1$

$(\Sigma')^{p(n)}$$p(n)$$p(n)$

[1] Về sự tương đương, ngăn chặn và bao quát các vấn đề đối với các ngôn ngữ thông thường và không có ngữ cảnh Harry B.Hunt, Daniel J.Rosenkrantz, Thomas G.Szymanski. Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống. Tập 12, số 2, tháng 4 năm 1976, trang 222-268

[2] Vấn đề tương đương cho các biểu thức chính quy với bình phương đòi hỏi không gian theo cấp số nhân . Meyer, AR và L. Stockmeyer. Hội thảo chuyên đề về chuyển mạch và lý thuyết tự động lần thứ 13, tháng 10 năm 1972, tr.125 Từ 129.