Xác suất mà một mạng sắp xếp ngẫu nhiên hoạt động

Cho đầu vào , chúng tôi xây dựng một mạng sắp xếp ngẫu nhiên với cổng bằng cách lặp lại chọn hai biến với và thêm một cổng so sánh hoán đổi chúng nếu . $n$ $x_0, \ldots, x_{n-1}$ $m$ $x_i, x_j$ $i < j$ $x_i > x_j$

Câu 1 : Đối với cố định , phải lớn đến mức nào để mạng sắp xếp chính xác với xác suất ? $n$ $m$ $> \frac{1}{2}$

Chúng tôi có ít nhất giới hạn dưới vì một đầu vào được sắp xếp chính xác ngoại trừ mỗi cặp liên tiếp được hoán đổi sẽ mất thời gian cho mỗi cặp được chọn làm so sánh. Có phải đó cũng là giới hạn trên, có thể có nhiều yếu tố không? $m = \Omega(n^2 \log n)$ $\Theta(n^2 \log n^2)$ $\log n$

Câu 2 : Có phân phối cổng so sánh nào đạt được , có lẽ bằng cách chọn các bộ so sánh gần với xác suất cao hơn? $m = \tilde{O}(n)$

sorting-network

— Geoffrey Irving
nguồn

Tôi đoán người ta có thể có giới hạn trên bằng cách nhìn vào một đầu vào tại một thời điểm và sau đó liên kết giới hạn, nhưng điều đó nghe có vẻ chặt chẽ.

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— daniello

Ý tưởng cho Câu hỏi 2: chọn một mạng sắp xếp có độ sâu . Ở mỗi bước, chọn ngẫu nhiên một trong các cổng của mạng sắp xếp và thực hiện so sánh đó. Sau các bước , tất cả các cổng trong lớp đầu tiên sẽ được áp dụng. Sau các bước , tất cả các cổng trong lớp thứ hai sẽ được áp dụng. Nếu bạn có thể chỉ ra rằng đây là đơn điệu (trung bình thêm các so sánh bổ sung vào giữa mạng sắp xếp không thể làm tổn thương), bạn sẽ có được một giải pháp với tổng số so sánh trung bình . Tôi không chắc chắn liệu sự đơn điệu thực sự giữ, mặc dù.

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

— DW

@DW: Tính đơn điệu không nhất thiết phải giữ. Xem xét các chuỗi chuỗi công trình; không (xem xét đầu vào (1, 0, 0)). Ý tưởng là sắp xếp bất kỳ đầu vào nào nó nhận được ngoại trừ (xem tại đây ). Trong , đầu vào đó không thể đạt tới . Trong nó có thể.

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$

s

$s$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

s^{'}

$s'$

— Neal Young

Hãy xem xét các biến nơi mạng được lựa chọn bằng cách chọn hai liền kề biến ngẫu nhiên ở mỗi bước. Bây giờ tính đơn điệu giữ (vì các giao dịch hoán đổi liền kề không tạo ra nghịch đảo). Áp dụng ý tưởng của @ DW cho một mạng sắp xếp chẵn , có vòng: trong các vòng lẻ, nó so sánh tất cả các cặp liền kề trong đó là số lẻ, trong các vòng chẵn, nó so sánh tất cả các cặp liền kề trong đó là số chẵn. Khi mạng ngẫu nhiên đúng trong các so sánh , vì nó "bao gồm" mạng này. (Hay tôi đang thiếu thứ gì đó?)

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— Neal Young

Tính đơn điệu của các mạng liền kề: Cho , với xác định . Nói nếu ( ). Khắc phục mọi so sánh " ". Đặt và đến từ và bằng cách thực hiện phép so sánh đó. Yêu cầu 1. và . Yêu cầu 2: nếu , thì . Sau đó hiển thị theo quy nạp: nếu

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

a^{'}

$a'$

b^{'}

$b'$

a

$a$

b

$b$ $a' \preceq a$ $b' \preceq b$ $a\preceq b$ $a' \preceq b'$

y

$y$ là kết quả của chuỗi so sánh trên đầu vào và là kết quả của siêu chuỗi của trên , sau đó . Vì vậy, nếu được sắp xếp, .

s

$s$

x

$x$

y^{'}

$y'$

s^{'}

$s'$

s

$s$

x

$x$

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$

y

$y$

y^{'}

$y'$

— Neal Young

Đây là một số dữ liệu thực nghiệm cho câu hỏi 2, dựa trên ý tưởng của DW được áp dụng cho sắp xếp bitonic. Đối với biến, chọn với xác suất tỷ lệ thuận với , sau đó chọn thống nhất ngẫu nhiên để có bộ so sánh . Điều này phù hợp với phân phối của các bộ so sánh theo loại bitonic nếu là lũy thừa của 2 và xấp xỉ nó theo cách khác. $n$ $j - i = 2^k$ $\lg n - k$ $i$ $(i,j)$ $n$

Đối với một chuỗi vô hạn các cổng được lấy từ phân phối này, chúng ta có thể tính gần đúng số lượng cổng cần thiết để có được một mạng sắp xếp bằng cách sắp xếp nhiều chuỗi bit ngẫu nhiên. Đây là ước tính cho lấy trung bình hơn chuỗi cổng với chuỗi bit được sử dụng để tính gần đúng số đếm: Nó dường như khớp với , độ phức tạp tương tự như sắp xếp bitonic. Nếu vậy, chúng tôi không ăn thêm một yếu tố do vấn đề người thu thập phiếu giảm giá đi qua mỗi cổng. $n < 200$ $100$ $6400$ $\Theta(n \log^2 n)$ $\log n$

Để nhấn mạnh: Tôi chỉ sử dụng chuỗi bit để xấp xỉ số lượng cổng dự kiến, không phải là . Các cổng yêu cầu trung bình tăng theo số đó: với nếu tôi sử dụng , và trình tự các ước tính là , và . Vì vậy, có thể nhận được một vài chuỗi cuối cùng làm tăng sự phức tạp tiệm cận, mặc dù theo trực giác nó cảm thấy không thể. $6400$ $2^n$ $n = 199$ $6400$ $64000$ $640000$ $14270 \pm 1069$ $14353 \pm 1013$ $14539 \pm 965$

Chỉnh sửa : Đây là một âm mưu tương tự lên tới , nhưng sử dụng số lượng cổng chính xác (được tính toán thông qua kết hợp lấy mẫu và Z3). Tôi đã chuyển từ sức mạnh của hai sang tùy ý với xác suất tỷ lệ thuận với . vẫn có vẻ hợp lý. $n = 80$ $d = j-i$ $d \in [1,\frac{n}{2}]$ $\frac{\log n - \log d}{d}$ $\Theta(n \log^2 n)$

— Geoffrey Irving
nguồn

Thử nghiệm tốt đẹp! Tuy nhiên, có một cách khác mà vấn đề người thu thập phiếu giảm giá có thể phát sinh ở đây: bạn chỉ lấy mẫu một phần nhỏ trong chuỗi bit cần thiết để xác minh tính chính xác của tất cả các đầu vào. Dường như chúng ta có thể kết luận (về mặt khoa học, không phải về mặt toán học) từ thí nghiệm của bạn rằng một mạng ngẫu nhiên thuộc loại và kích thước này sắp xếp một whp hoán vị ngẫu nhiên . Tôi cũng tò mò muốn xem thử nghiệm toàn diện trên các mạng ngẫu nhiên như vậy cho tất cả mà bạn sẵn sàng thực hiện. ( không nên quá tệ, thậm chí có thể tùy thuộc vào ngôn ngữ và phần cứng bạn đang sử dụng).

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n = 20

$n=20$

n = 30

$n=30$

— Joshua Grochow

Nó trông giống nhau cho chính xác tới , nhưng tôi không xem đó là kết luận.

n = 27

$n = 27$

— Geoffrey Irving

@JoshuaGrochow: Tôi đã thêm các giá trị chính xác lên tới .

n = 80

$n = 80$

— Geoffrey Irving

Đẹp! Dường như có một sự lây lan ngày càng tăng đến dữ liệu chính xác, điều này có lẽ chỉ ra giới hạn trên với một yếu tố phụ là ? (Nghĩa là, nếu "mức chênh lệch" đang tăng với tốc độ .)

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

— Joshua Grochow

Vâng, chúng tôi không thể loại trừ một yếu tố phụ. Tôi sẽ ngạc nhiên nếu đó là , tuy nhiên, vì ở tuổi 80, chúng tôi có và hằng số đáng ngờ gần bằng nếu không. Tại thời điểm này tôi nghĩ rằng lý thuyết phải tiếp quản. :)

\log n

$\log n$

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$

1

$1$

— Geoffrey Irving