Vấn đề tổng hợp căn bậc hai?

Bài toán tổng căn bậc hai hỏi, đưa ra hai chuỗi và của các số nguyên dương, cho dù tổng nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn hơn tổng . Tình trạng phức tạp của vấn đề này là mở; xem bài đăng này để biết thêm chi tiết. Vấn đề này phát sinh một cách tự nhiên trong hình học tính toán, đặc biệt là trong các vấn đề liên quan đến các đường đi ngắn nhất của Euclide và là một trở ngại đáng kể trong việc chuyển thuật toán cho các vấn đề đó từ RAM thực sang RAM số nguyên tiêu chuẩn.b 1 , b 2 , ... , b n Σ i $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ Σi$\sum_i \sqrt{a_i}$$\sum_i \sqrt{b_i}$

Gọi một vấn đề tổng của căn bậc hai-cứng (viết tắt-hard?) Nếu có giảm thời gian đa thức từ tổng của bài toán căn bậc hai thành. Không khó để chứng minh rằng vấn đề sau đây là tổng của căn bậc hai:

Đường dẫn ngắn nhất trong đồ thị hình học Euclide 4d

Sơ thẩm: Một đồ thị có các đỉnh là các điểm trong , với các cạnh có trọng số bởi Euclide distane; hai đỉnh vàZ 4 s $G=(V,E)$$\mathbb{Z}^4$$s$$t$

Output: Con đường ngắn nhất từ đến trong .t $s$$t$$G$

Tất nhiên, vấn đề này có thể được giải quyết theo thời gian đa thức trên RAM thực bằng thuật toán của Dijkstra, nhưng mỗi so sánh trong thuật toán đó đòi hỏi phải giải một bài toán tổng bình phương. Việc giảm sử dụng thực tế là bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được viết dưới dạng tổng của bốn hình vuông hoàn hảo; đầu ra của quá trình giảm thực sự là một chu kỳ trên đỉnh.$2n+2$

Những vấn đề khác là tổng-căn-vuông-cứng? Tôi đặc biệt quan tâm đến các vấn đề có giải pháp đa thức thời gian trên RAM thực. Xem câu hỏi trước của tôi cho một khả năng.

Như Robin gợi ý, những câu trả lời nhàm chán thật nhàm chán. Đối với bất kỳ lớp X phức tạp nào có chứa tổng căn bậc hai (ví dụ: PSPACE hoặc EXPTIME), mọi bài toán X-hard đều khó tính tổng của căn bậc hai.

Điều này đã được thảo luận một chút trong khảo sát sau (bắt đầu slide 21): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

trong đó đề cập đến TSP Euclide, xấp xỉ cân bằng Nash thực tế và nói về các lớp PosSLP và FIXP.

Đây phải là một nhận xét, vì nó là một câu trả lời chủ yếu nhàm chán, nhưng tôi không có đủ danh tiếng.

$P^{PP^{PP^{PP}}}$$PosSLP$

[ABKM98]: Về sự phức tạp của phân tích số, bởi Allender, Burgisser, Kjeldgaard-Pedersen và Miltersen.