Counterexample để thuật toán dòng chảy tối đa với trọng số không hợp lý?

Được biết, Ford-Fulkerson hoặc Edmonds-Karp với heuristic ống mỡ (hai thuật toán cho dòng chảy tối đa) không cần phải dừng lại nếu một số trọng số là không hợp lý. Trong thực tế, họ thậm chí có thể hội tụ vào giá trị sai ! Tuy nhiên, tất cả các ví dụ tôi có thể tìm thấy trong tài liệu [tài liệu tham khảo bên dưới, cộng với tài liệu tham khảo trong đó] chỉ sử dụng một giá trị phi lý duy nhất: tỷ lệ vàng liên hợp và các giá trị khác là số hữu tỷ hoặc là bội số hợp lý của . Câu hỏi chính của tôi là:$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$$\phi'$

Câu hỏi chung: Điều gì xảy ra với các giá trị phi lý khác?

Ví dụ: (nhưng không cảm thấy như bạn phải trả lời tất cả những điều này để đăng - Tôi thấy câu trả lời thú vị cho bất kỳ câu hỏi nào hoặc cho các câu hỏi khác nằm trong câu hỏi chung ở trên):

1. Với bất kỳ , người ta có thể xây dựng (hoặc thậm chí hiển thị sự tồn tại của) các mẫu tương tự như vậy không?$\alpha \in \mathbb{R}$

2. Yếu hơn: có ví dụ nào biết rằng sử dụng giá trị phi lý về cơ bản khác với không? Đó là, có một số không phải là bội số hợp lý của (hoặc mạnh hơn không có trong ) và do đó có các mẫu đối lập với Ford-Fulkerson và / hoặc Edmonds- Karp nơi tất cả các trọng số nằm trong ?$\phi'$$\alpha$$\phi'$$\mathbb{Q}(\phi')$$\mathbb{Q}(\alpha)$

3. Theo hướng khác, có tồn tại một phi lý sao cho Ford-Fulkerson (resp., Edmonds-Karp) dừng lại với giá trị chính xác trên tất cả các đồ thị có trọng số đều từ ? (Hoặc mạnh hơn, từ ?)$\alpha$$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$$\mathbb{Q}(\alpha)$

Trong mọi trường hợp, tôi muốn giả sử một cái gì đó giống như mô hình RAM thực, để việc so sánh chính xác số học và chính xác của các số thực được thực hiện trong thời gian không đổi.

(Có các thuật toán dòng cực đại khác được biết là chạy trong thời gian đa thức mạnh, ngay cả với các trọng số thực tùy ý, có lẽ đó là lý do tại sao loại câu hỏi này có thể không được khám phá thêm. Nhưng vừa mới dạy các thuật toán này trong lớp thuật toán nâng cấp của tôi , Tôi vẫn tò mò về điều này.)

Người giới thiệu

• Một ví dụ tối thiểu cho Ford-Fulkerson đã được đưa ra bởi Zwick TCS 1999

• Một ví dụ cho Edmonds-Karp đã được đưa ra bởi Queyranne hoặc Queyranne Math. Điều hành. Độ phân giải 1980 , mặc dù tôi không biết nếu đó là tối thiểu.

• Cả hai đều có thể được tìm thấy trong các bài giảng của Jeff Erickson , với phần đầu tiên trong Phần 23.5 và phần thứ hai là Bài tập 14 của Bài giảng 23.

Câu trả lời là với mỗi số vô tỷ , tồn tại một mạng$r$

• với đỉnh và cung,$n=6$$m=8$
• trong đó bảy cung có dung lượng nguyên,
• trong đó một cung có công suất ,$r$
• và trên đó Ford-Fulkerson có thể không chấm dứt.

Điều này đã được chứng minh trong bài báo

Toshihiko Takahashi:
"Mạng đơn giản nhất và nhỏ nhất mà Thủ tục lưu lượng tối đa của Ford-Fulkerson có thể không chấm dứt"
Tạp chí Xử lý thông tin 24, trang 390-394, 2016.
Liên kết: https: //www.jstage.jst.go. jp / bài viết / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _article

Cảm ơn bạn cho câu hỏi mà tôi thấy không thực sự tự nhiên nhưng khá thú vị.

Tôi đã xem xét phần Ford-Ferkulson và tôi nghĩ rằng tôi đã tìm thấy một biểu đồ là một ví dụ ngược lại và chỉ có một cạnh có công suất vô lý α (biểu đồ có thể hoạt động cho bất kỳ α).

Đây là bản PDF tóm tắt nỗ lực của tôi: https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (xin lỗi vì hiện tại nó hơi khó hiểu nhưng đừng ngần ngại khi đặt câu hỏi)

Rõ ràng Ford-Felkurson cho phép chúng tôi chọn con đường gia tăng như chúng tôi muốn ... Tôi không chắc điều này có thể xảy ra với Edmond-Karp.