Các ví dụ về làm thế nào không đồng nhất có thể hữu ích?

Tôi tò mò về những cách mà bạn đã thấy tính không đồng nhất có ích trong tính toán. Một cách là sự ngẫu nhiên, như trong , và một cách khác là các bảng tra cứu được sử dụng để cho thấy rằng tất cả các ngôn ngữ đều có mạch không đồng nhất.$BPP \subseteq P/poly$

Cụ thể, tôi quan tâm đến những cách mà các đối tượng được biết là tồn tại thông qua phương pháp xác suất và các phương pháp chứng minh không mang tính xây dựng (hoặc không đủ xây dựng) khác có thể được tận dụng bằng cách sử dụng tính không đồng nhất. Tôi thích các ví dụ là tự nhiên, không bị chiếm đoạt. Để rõ ràng, một mạch cho một vấn đề có thể xảy ra có thể là một cái gì đó như: đưa ra một số ngôn ngữ , tôi tạo một mạch kích thước đa thức bằng cách tính toán một số hàm thực sự khó bằng lời khuyên của tôi và hỏi liệu .$L \in P$$f(|x|)$$f(|x|)^{n/|f(|x|)|} \oplus x \in L$

Một ví dụ tôi thích là đối số bằng cách đếm các chuỗi trong ngôn ngữ (xem ví dụ: https://blog.computationalcomplexity.org/2004/01/little-theorem.html ).$\mathrm{NE\subseteq coNE}/(n+1)$

Một ví dụ là . Định lý này đã được Reinhardt và Allender chứng minh trong bài báo "Làm cho chủ nghĩa không phổ biến không mơ hồ" . Không đi sâu vào chi tiết, lời khuyên trong thuật toán của họ bao gồm một chuỗi các phép gán trọng số cạnh để cho bất kỳ máy đào được mã hóa bởi một chuỗi -bit, một số phép gán trong chuỗi làm cho "min-unique". Trình tự như vậy có thể được hiển thị để tồn tại bằng phương pháp xác suất. Đóng góp chính của Reinhardt và Allender là đưa ra các thuật toán không gian log rõ ràng để tìm ra phép gán nào trong chuỗi hoạt động cho một sơ đồ cụ thể và cho quyết định$\mathbf{NL} \subseteq \mathbf{UL}/\text{poly}$$G$$n$$G$$G$$s$- kết nối trên một máy thu nhỏ độc đáo.$t$

Như với , người ta phỏng đoán rằng sự không đồng nhất thực sự không cần thiết ở đây, nghĩa là, nó được phỏng đoán rằng .$\mathbf{BPP} \subseteq \mathbf{P}/\text{poly}$$\mathbf{NL} = \mathbf{UL}$

Tôi không chắc liệu nó có phù hợp với những gì bạn đang tìm kiếm hay không, nhưng có một vài kết quả chứng minh các định lý phân cấp cho các lớp phức tạp ngữ nghĩa với một lời khuyên, trong đó không có định lý phân cấp nào được biết mà không có lời khuyên. Ví dụ nổi tiếng nhất là BPP, trong đó chúng ta không biết một định lý phân cấp, nhưng Fortnow và Santhanam cho thấy một tồn tại với một lời khuyên (dựa trên kết quả của Barak sử dụng nhiều lời khuyên hơn). Bài viết này của Melkebeek và Pervyshev đưa ra các tài liệu tham khảo và lịch sử, và một định lý dường như bao gồm những điều trước đó.