W [1] -có vấn đề với thuật toán xấp xỉ thời gian của FPT

Tôi đang tìm kiếm những vấn đề khó giải quyết trong thời gian của FPT nhưng có thuật toán gần đúng. Đó là, vấn đề đó là:

R 1. W [1] -hard.

R2. Chấp nhận thuật toán xấp xỉ (tốt nhất là không đổi) trong thời gian FPT.

Vấn đề tôi quen thuộc là đếm số lượng đường dẫn đơn giản có độ dài trong biểu đồ. Nó được biết là #W [1] -hard , nhưng thừa nhận một phép tính gần đúng trong thời gian FPT (đối với mọi hằng số ).$k$$(1+\epsilon)$$\epsilon$

Điều thú vị nữa là các vấn đề thỏa mãn R1 và R2, và:

R3. Tồn tại sao cho vấn đề không phải là gần đúng theo thời gian của FPT (trừ khi W [1] = FPT).( 1 + ε $\epsilon>0$ $(1+\epsilon)$

Những vấn đề khác thỏa mãn R1 và R2, và có thể R3?

Trong bài toán Chuyển động theo chu kỳ có hướng, đầu vào là đồ thị và nhiệm vụ là tìm một tập hợp S nhỏ nhất của các đỉnh sao cho G - S không có chu kỳ (có hướng) có độ dài lẻ. Trong phiên bản tham số hóa, chúng tôi cũng được cung cấp một số nguyên k và được hỏi liệu một giải pháp kích thước tối đa k có tồn tại hay không.$G$$S$$G-S$$k$$k$

Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh rằng (R1) vấn đề là W -hard, (R2) rằng nó thừa nhận thuật toán xấp xỉ 2 nhân tố trong thời gian 2 k O ( 1 ) n O ( 1 ) và (R3 ') giả định một giả thuyết có phần mạnh hơn F P T ≠ W [ 1 ] rằng có tồn tại một ε > 0 như vậy mà vấn đề không thừa nhận một ( 1 + ε ) thuật toán xấp xỉ trong thời gian f ( k $[1]$$2^{k^{O(1)}}n^{O(1)}$$FPT \neq W[1]$$\epsilon > 0$$(1+\epsilon)$ .$f(k)n^{O(1)}$

Trong [1], các tác giả chứng minh rằng MaxSAT được tham số hóa bởi độ rộng clique (độ đa dạng lân cận) của biểu đồ tỷ lệ của công thức CNF có một FPT-AS (Lược đồ xấp xỉ có thể điều chỉnh tham số cố định) nhưng được biết rằng MaxSAT được tham số hóa clique-width (resp. láng giềng đa dạng) là W [1] -hard.

Định lý chủ yếu dựa vào kết quả của [2] mà đại khái nói rằng một đồ thị có chiều rộng giới hạn không có cụm lớn cũng đã giới hạn treewidth. Do đó, họ đã khéo léo cắt công thức sao cho chúng không có cụm lớn trong biểu đồ tỷ lệ công thức giảm thời gian của FPT sử dụng thuật toán nổi tiếng cho MaxSAT trên treewidth giới hạn. Tôi đoán phương pháp này cũng có thể làm việc trong các vấn đề khác.

[1] Holger Dell, Eun Jung Kim, Michael Lampis, Valia Mitsou, Tobias Mömke: Độ phức tạp và tính gần đúng của các MAX-CSP được tham số hóa. IPEC 2015

[2] Gurski, F., & Wanke, E. (2000, tháng 6). Chiều rộng cây của đồ thị giới hạn chiều rộng clique không có K n, n . Trong hội thảo quốc tế về các khái niệm lý thuyết đồ thị trong khoa học máy tính (trang 196-205). Springer, Berlin, Heidelberg.

Trong khiếm khuyết Coloring chúng ta đưa ra một đồ thị và một số nguyên Δ * và được yêu cầu để phân vùng các đỉnh của G vào số có thể tối thiểu của các lớp màu sao cho mỗi lớp gây ra một đồ thị của mức độ tối đa nhất Δ * . (Nếu Δ * = 0 vấn đề này chỉ là Tô màu ).$G$$\Delta^*$$G$$\Delta^*$$\Delta^*=0$

Trong [1] chúng tôi đã chỉ ra những điều sau đây liên quan đến vấn đề này được tham số hóa bởi treewidth : (R1) vấn đề là W [1] -hard; (R2) số lượng màu tối thiểu có thể xấp xỉ 2 lần theo thời gian của FPT; (R3) không có -approximation trong FPT thời gian, theo các giả định chuẩn.$(3/2-\epsilon)$

[1] Rémy Belmonte, Michael Lampis và Valia Mitsou: Màu bị khiếm khuyết theo tham số (gần đúng). STACS '18.

Vấn đề k-cut là loại bỏ một số cạnh tối thiểu để tạo ra ít nhất k thành phần. W [1] khó khi được tham số hóa bởi k nhưng thừa nhận xấp xỉ 2 cho mọi k.

(Câu hỏi này đã được hỏi hai năm trước, nhưng tôi sẽ đăng câu trả lời cho những người khác có thể thấy câu hỏi này.)

Trong hi nti $k$ -median vấn đề chúng ta đang đưa ra một tập $F$ các cơ sở, mỗi cơ sở $f$ với công suất $u_f \in \mathbb{Z}_{\geq0}$ , một tập hợp $C$ của khách hàng, một thước đo $d$ qua $F\cup C$ và một ràng buộc trên $k$ vào số của các cơ sở chúng ta có thể mở. Một giải pháp cho vấn đề là một tập hợp $S \subseteq F$ ít nhất $k$ cơ sở vật chất mở và một nhiệm vụ kết nối $\phi:C\rightarrow S$ của khách hàng cho các cơ sở mở như vậy$|\phi^{-1}(f)| \leq u_{f}$ cho mỗi cơ sở$f \in S$ . Chúng tôi muốn tìm một giải pháp giảm thiểu các chi phí đấu nối$\sum_{c\in C} d(c,\phi(C))$ . Vấn đề là$W[2]$ -hard khi được tham số hóa bởi$k$ . Trongbài báo này, các tác giả đã chỉ ra rằng tồn tại thuật toán xấp xỉ hệ số xấp xỉ hằng số thời gian của FPT cho vấn đề. (trong trường hợp này, bạn có thể kiểm tra GAP-ETH để biết một số kết quả âm tính. Xemhttps://arxiv.org/pdf/1708.04218.pdf )