Những vấn đề có thể giải quyết bằng trực giác trong thực tế?

Gần đây, tôi đã trải qua trải nghiệm thú vị đau đớn khi giải thích một cách không chính thức khái niệm về độ phức tạp tính toán cho một lập trình viên tự học trẻ tài năng, người chưa bao giờ tham gia một khóa học chính thức về thuật toán hoặc độ phức tạp trước đây. Không có gì đáng ngạc nhiên, ban đầu rất nhiều khái niệm có vẻ lạ nhưng có ý nghĩa với một số ví dụ (PTIME, độ hấp dẫn, không tính toán) , trong khi những khái niệm khác có vẻ tự nhiên hơn (phân loại vấn đề thông qua giảm, thời gian và không gian như tài nguyên, phân tích tiệm cận) . Mọi thứ đều diễn ra tuyệt vời cho đến khi tôi vô tình thừa nhận rằng SATcó thể được giải quyết một cách hiệu quả * trong thực tế ... Và cứ như thế, tôi mất chúng. Nó không quan trọng như thế nào thuyết phục tôi đã cố gắng để tranh luận cho lý thuyết, những đứa trẻ đã bị thuyết phục rằng đó là tất cả nhân tạo tào lao toán rằng ông không nên chăm sóc cho. Tốt...

¯ \ _ (ツ) _ /

Không, tôi không đau lòng, tôi cũng không thực sự quan tâm đến những gì anh ấy nghĩ, đó không phải là vấn đề của câu hỏi này. Cuộc trò chuyện của chúng tôi đã khiến tôi nghĩ về một câu hỏi khác,

Tôi thực sự biết bao nhiêu về các vấn đề khó hiểu về mặt lý thuyết (độ phức tạp thời gian siêu đa thức) nhưng thực tế có thể giải quyết được (thông qua phương pháp phỏng đoán, xấp xỉ, giải SAT, v.v.)?

Tôi nhận ra, không nhiều. Tôi biết rằng có một số bộ giải SAT rất hiệu quả giúp giải quyết các trường hợp to lớn một cách hiệu quả, Simplex hoạt động rất tốt trong thực tế và có thể thêm một vài vấn đề hoặc thuật toán. Bạn có thể giúp tôi vẽ một bức tranh hoàn chỉnh hơn? Những vấn đề nổi tiếng hoặc thậm chí các lớp vấn đề nằm trong danh mục này?

TL; DR: là gì vấn đề mà là phản trực giác có thể giải quyết trong thực tế? Có tài nguyên (cập nhật) để đọc thêm không? Chúng ta có một đặc tính cho họ? Và cuối cùng, như một câu hỏi thảo luận chung, chúng ta có nên không?

EDIT # 1: Khi cố gắng trả lời câu hỏi thảo luận cuối cùng của tôi về một đặc tính như vậy , tôi được giới thiệu để phân tích trơn tru các thuật toán, một khái niệm được giới thiệu bởi Daniel Spielman và Shang-Hua Teng trong [1] liên tục nội suy giữa trường hợp xấu nhất và phân tích trường hợp trung bình của các thuật toán. Nó không chính xác là đặc tính được thảo luận ở trên, nhưng nó nắm bắt cùng một khái niệm và tôi thấy nó thú vị.

[1] Spielman, Daniel A. và Shang-Hua Teng. "Phân tích trơn tru các thuật toán: Tại sao thuật toán đơn giản thường mất thời gian đa thức." Tạp chí của ACM (JACM) 51, số 3 (2004): 385-463.

• Các trường hợp SAT có cấu trúc cao (thậm chí trên hàng triệu biến) thường có thể được giải quyết trong thực tế. Tuy nhiên, các trường hợp SAT ngẫu nhiên gần ngưỡng thỏa mãn với thậm chí vài trăm biến vẫn mở (có nghĩa là, ngay cả trong thực tế, nếu bạn tạo ra một thứ như vậy bạn có thể không bao giờ biết trong vòng đời của vũ trụ liệu thứ bạn tạo ra có thỏa đáng hay không sử dụng bộ giải SAT hiện tại). Bạn có thể quan tâm đến câu hỏi liên quan này và câu trả lời của nó.

• Công cụ tìm Clique cũng rất tốt "trong thực tế"

  • Đối với các công cụ tìm clique, (một phần của) giải thích được đưa ra bởi một phân tích trường hợp trung bình của các thuật toán được đề cập.

    Xem https://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S0166218X18300167?via%3Dihub

• Lập trình số nguyên và lập trình số nguyên tuyến tính hỗn hợp (với một số biến số hữu tỷ và một số nguyên) là trọng tâm của toàn bộ bộ phận Nghiên cứu hoạt động và thường có thể (nhưng không phải luôn luôn) được giải quyết trong thực tế

• Theo những gì tôi hiểu, nhiều vấn đề hoàn chỉnh của có thể được giải quyết trong thực tế, nhưng "trong thực tế" thường bao hàm "trong các trường hợp có cấu trúc cao". (Ngược lại, chúng tôi vẫn không biết ai là người chiến thắng trong các trường hợp khá nhỏ của trò chơi , đó là một vấn đề khác của .P S P A C $\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{PSPACE}$

• Nhiều vấn đề trong hình học đại số tính toán có thể được giải quyết trong thực tế trên các trường hợp nhỏ bằng cách sử dụng các cơ sở Grobner, nhưng những vấn đề này thất bại thảm hại trong các trường hợp lớn hơn, hoặc thậm chí các trường hợp nhỏ có "độ phức tạp" cao (được đo bằng mức độ đều đặn của Castelnuovo-Mumford). Và những vấn đề này thậm chí là - hoàn thành!$\mathsf{EXPSPACE}$

• Như đã chỉ ra trong các nhận xét của DW, đồ thị đẳng hình có thể được giải quyết khá nhiều trong thực tế. Rất khó để bỏ qua các phần mềm GI hiện đại như nauty, bliss, saucy, v.v.

Các Hindley-Milner hệ thống kiểu được sử dụng trong ngôn ngữ lập trình chức năng (Haskell, SML, OCaml). Thuật toán suy luận kiểu gần như tuyến tính trong thực tế và hoạt động tốt đến mức đáng kinh ngạc, nhưng được biết là hoàn thành DEXPTIME!

Một nhận xét chung: không có gì ngạc nhiên khi độ phức tạp trong thời gian tồi tệ nhất không nhất thiết là một thước đo rất tốt về hiệu suất thực tế trên một thuật toán. Tuy nhiên, để nói rằng sự khác biệt giữa lý thuyết và thực tiễn làm cho lý thuyết phức tạp trở nên vô dụng cũng giống như nói rằng số tự nhiên là một sự lãng phí vì chúng ta chỉ sử dụng một lượng rất nhỏ của tất cả các số có sẵn. Một triết gia nổi tiếng đã từng nói rằng "Kinh nghiệm không có lý thuyết là mù quáng, nhưng lý thuyết không có kinh nghiệm chỉ là trò chơi trí tuệ".

Ví dụ khác, chủ yếu từ các ngôn ngữ lập trình:

1. k-CFA (Phân tích lưu lượng kiểm soát k) là hoàn thành EXPTIME (Van Horn & Mairson 2008), nhưng các trình biên dịch tối ưu hóa toàn bộ chương trình như MLton vẫn thực hiện nó. Thời gian biên dịch dài, nhưng hiếm khi thảm họa.
2. Quá tải giải quyết (động) nói chung là NP-Complete (Palsberg 2012). Nhưng sau đó nó hiếm khi là một vấn đề trong thế giới thực.
3. $k$
4. Việc giải quyết SMT nói chung là hoàn thành NP, nhưng các bộ giải thương mại SMT (như Z3 và CVC4) thường có hiệu suất khá cao. Tôi không làm việc trực tiếp với người giải quyết SMT, nhưng tôi đã sử dụng Z3 gián tiếp từ Liquid Haskell và Dafny, và thời gian kiểm tra có vẻ ổn.
5. Vấn đề quyết định cho số học Presburger thực sự phức tạp (Fischer & Rabin 1974), nhưng thuật toán quyết định của Bill Pugh, bài kiểm tra Omega (Pugh 1991), thường chạy trong thời gian đa thức bậc thấp.

$O$$n$$n$

Tài liệu tham khảo:

[1] David Van Horn và Harry G. Mairson. 2008. Quyết định kCFA hoàn tất cho EXPTIME. Trong Kỷ yếu của Hội nghị quốc tế ACM SIGPLAN lần thứ 13 về lập trình chức năng (ICFP '08). ACM, New York, NY, Hoa Kỳ, 275-282.

[2] http://web.cs.ucla.edu/~palsberg/apers/dclus-to-kozen12.pdf

[3] MJ Fischer và MO Rabin. 1974. HỢP CHẤT TUYỆT VỜI CỦA ARITHMETIC PRESBURGER. Tường trình kỹ thuật. Viện Công nghệ Massachusetts, Cambridge, MA, Hoa Kỳ.

[4] William Pugh. 1991. Thử nghiệm Omega: một thuật toán lập trình số nguyên nhanh và thực tế để phân tích sự phụ thuộc. Trong Kỷ yếu của Hội nghị ACM / IEEE về siêu máy tính năm 1991 (Siêu máy tính '91). ACM, New York, NY, Hoa Kỳ, 4-13.

đào tạo mạng lưới thần kinh bằng cách sử dụng các phương pháp giảm độ dốc cũng được chứng minh là vấn đề cực kỳ khó khăn https://www.cs.utexas.edu/~klivans/crypto-hs.pdf nhưng thường có thể giải quyết được trong thực tế.