Khái quát hóa tuyên bố rằng một monoid nhận ra ngôn ngữ iff cú pháp đơn ngữ phân chia monoid

Đặt là bảng chữ cái hữu hạn. Đối với một ngôn ngữ nhất định L ⊆ A * các monoid cú pháp M ( L ) là một khái niệm nổi tiếng trong lý thuyết ngôn ngữ chính thức. Hơn nữa, một monoid M nhận một ngôn ngữ L iff tồn tại một cấu xạ φ : Một * → M như vậy L = φ - 1 ( φ ( L ) ) ) .$A$$L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$$M$$L$$\varphi : A^{\ast} \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

Sau đó, chúng tôi có kết quả tốt đẹp:

Một monoid nhận L ⊆ A * nếu M ( L ) là một hình ảnh của một homomorphic submonoid của M (bằng văn bản như M ( L ) ≺ M ).$M$$L \subseteq A^{\ast}$$M(L)$$M$$M(L) \prec M$

Trên đây thường là các trạng thái trong bối cảnh của các ngôn ngữ thông thường, và sau đó các đơn âm ở trên là hữu hạn.

Bây giờ giả sử chúng ta thay thế bằng một đơn thức N tùy ý và chúng ta nói rằng một tập hợp con L ⊆ N được M nhận ra nếu tồn tại một hình thái φ : N → M sao cho L = φ - 1 ( φ ( L ) ) . Sau đó, chúng tôi vẫn có rằng nếu M nhận L , sau đó M ( L ) ≺ M (xem S. Eilenberg, Máy tự động, Máy móc và Ngôn ngữ, Tập B), nhưng không giữ converse?$A^{\ast}$$N$$L \subseteq N$$M$$\varphi : N \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$$M$$L$$M(L) \prec M$

Trong giấy tờ chứng minh cho chuyện này được chứng minh bằng cách khai thác tài sản đó nếu N = φ ( M ) đối với một số cấu xạ φ : M → N và ψ : Một * → N cũng là một cấu xạ, sau đó chúng ta có thể tìm ρ : Một * → M mà φ ( ρ ( u ) ) = ψ ( u ) nắm giữ, chỉ cần bằng cách chọn một số ρ ( x ) $A^{\ast}$$N = \varphi(M)$$\varphi : M \to N$$\psi : A^{\ast} \to N$$\rho : A^{\ast} \to M$$\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ cho mỗi x ∈ A và mở rộng này cho một cấu xạ từ A * đến M . Nhưng điều này không hoạt động đối với các đơn sắc N tùy ý,vì vậy tôi hy vọng điều ngược lại ở trên là sai. Và nếu nó là sai, vì những loại monoid bên cạnh Một * là nó vẫn còn đúng, và không những monoids đã nhận được bất kỳ sự chú ý trong các tài liệu nghiên cứu?$\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$$x \in A$$A^{\ast}$$M$$N$$A^{\ast}$

Vâng, những đơn sắc này đã nhận được sự chú ý trong tài liệu nghiên cứu và thực sự dẫn đến những câu hỏi khó.

Định nghĩa . Một monoid được gọi là xạ nếu tài sản sau đây giữ: nếu f : N → R là một cấu xạ monoid và h : T → R là một cấu xạ surjective, sau đó có tồn tại một cấu xạ g : N → T mà f = h ∘ g .$N$$f:N \to R$$h:T \to R$$g:N \to T$$f = h \circ g$

Bạn có thể tìm thấy một cuộc thảo luận dài về các đơn sắc chiếu trong [1], ngay sau Định nghĩa 4.1.33. Cụ thể là mọi nhóm bán kết hữu hạn đều là một nhóm (một nhóm bán kết trong đó mọi phần tử đều là idempotent). Nhưng điều ngược lại là không đúng sự thật và nó thực sự là một vấn đề mở để quyết định xem một nhóm bán kết hữu hạn có phải là dự án hay không.

$q$