Biểu diễn mạch gọn gàng của đồ thị

Lớp PPAD phức tạp (ví dụ: tính toán các cân bằng Nash khác nhau) có thể được định nghĩa là tập hợp các vấn đề tìm kiếm đa thời gian có thể giảm xuống đến KẾT THÚC :

KẾT THÚC LINE : Cho các mạch S và P với n bit đầu vào và n bit đầu ra sao cho P (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , tìm đầu vào x trong {0,1} ⁿ sao cho P (S (x)) ! = X hoặc S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ .

Các mạch hoặc thuật toán như S và P ngầm định nghĩa một biểu đồ lớn theo cấp số nhân chỉ được tiết lộ trên cơ sở truy vấn theo truy vấn (để giữ vấn đề trong PSPACE !), Ví dụ như bài báo của Papadimitrou .

Tuy nhiên, tôi không hiểu làm thế nào người ta sẽ thiết kế một mạch cho phép các biểu đồ tùy ý (nếu có cấu trúc có hệ thống với biểu đồ, việc tìm mạch dễ dàng hơn nhiều). Chẳng hạn, làm thế nào người ta có thể thiết kế một mạch có kích thước đa thức đại diện cho một đường có hướng dài theo cấp số nhân, với nhãn all-0 cho đỉnh nguồn và các nhãn nhị phân được gán ngẫu nhiên cho tất cả các đỉnh khác? Điều này dường như được ẩn giấu trong các giấy tờ liên quan đến PPAD .

Gần nhất tôi đến từ một tìm kiếm trực tuyến là giấy của Galperin / Widgerson , nhưng mạch được mô tả có hai nhãn đỉnh và trả về câu trả lời Boolean cho "Các đỉnh này có liền kề không?"

Vì vậy, làm thế nào bạn sẽ thiết kế một mạch có kích thước đa thức của đồ thị có kích thước theo cấp số nhân, lấy đầu vào n -bit và xuất ra nhãn n -bit của người tiền nhiệm hoặc người kế nhiệm của nó, tương ứng? Hoặc thậm chí, có ai biết về một tài nguyên giải thích điều này tốt không?

Câu hỏi của bạn dường như được đặt ra: làm thế nào để biểu diễn các biểu đồ tùy ý (hoặc thậm chí các biểu đồ đường dẫn tùy ý) như một mạch có kích thước đa thức? Câu trả lời là, bạn không. Số lượng các đồ thị con đường khác với 2 ⁿ đỉnh là (2 ⁿ ) !, hơn rất nhiều so với số lượng các mạch khác nhau với n ^c cửa (mũ trong n ^c log n). Vì vậy, hầu hết tất cả các đồ thị có nhiều đỉnh này không thể được biểu diễn bằng một mạch ngắn gọn.

Do đó, như bạn gợi ý, trong một số trường hợp, chỉ có các biểu đồ có mức độ cấu trúc cao mới có thể được biểu diễn theo cách này. Đó là điều làm cho các lớp phức tạp như PPAD trở nên thú vị: mặc dù cấu trúc mà chúng ta biết các đồ thị đầu vào cho vấn đề EOL phải có, chúng ta dường như không biết cách tận dụng cấu trúc để giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.

Nếu tôi hiểu nhầm câu hỏi của bạn và bạn thực sự đang hỏi: làm thế nào để tạo một mạch thậm chí đáp ứng các yêu cầu đầu vào cho EOL, thậm chí cho một biểu đồ có cấu trúc rất cao: hãy thử biểu đồ đường dẫn kết nối đỉnh x (được coi là một số ở dạng nhị phân) thành x-1 và x + 1, có kết thúc bằng 0 và tại 2 ^ n-1. Hoặc nếu bạn muốn một cái gì đó tầm thường mà khó giải quyết EOL hơn: hãy để E và D là các hàm mã hóa và giải mã cho một khóa cố định trong hệ thống mật mã yêu thích của bạn, hãy để hàng xóm của x trong biểu đồ là E (x) và D (x) và để các đầu của dòng là 0 và D (0).

Vì hầu hết các đồ thị trên n đỉnh là Kolmogorov-ngẫu nhiên, chúng không thể được mô tả bằng một mạch (hoặc bất kỳ chương trình nào khác) nhỏ hơn đáng kể so với chính đồ thị. (Nếu bạn không biết Kolmogorov-Random nghĩa là gì, về cơ bản bạn có thể lấy kết luận của câu trước làm định nghĩa của nó. Sau đó, dựa vào thực tế là hầu hết tất cả các chuỗi là Kolmogorov-ngẫu nhiên.)

Mặc dù tôi không quen thuộc lắm với các tác phẩm bạn đã trích dẫn, tôi đoán là chúng luôn nói về các biểu đồ được mô tả bởi các mạch. Nói cách khác, bằng cách tập trung vào các mạch, về cơ bản, chúng hạn chế sự chú ý của chúng vào lớp biểu đồ có mạch ngắn gọn (có kích thước là logarit trong kích thước của biểu đồ).