Độ phức tạp của giao tiếp xấp xỉ kích thước của giao điểm đặt

Hãy xem xét vấn đề giao nhau tập hợp: Alice và Bob mỗi người có một tập hợp con và họ muốn biết liệu các tập hợp của họ có giao nhau không. Đây là một vấn đề chính về độ phức tạp trong giao tiếp và được biết rằng các giao thức ngẫu nhiên cho vấn đề này đòi hỏi các bit truyền thông ( xem khảo sát tại đây ). Trong trường hợp các tập hợp có kích thước cho , được biết rằng các giao thức ngẫu nhiên yêu cầu các bit ( xem tại đây ). $\left\{ 1,\ldots, n\right\}$ $\Theta(n)$ $k$ $k \ll n$ $\Theta(k)$

Bây giờ hãy xem xét biến thể mà Alice và Bob muốn biết kích thước giao điểm của các bộ của họ. Rõ ràng, tính toán kích thước chính xác làm giảm vấn đề giao cắt tập hợp tiêu chuẩn và điều này đúng ngay cả khi họ chỉ muốn tính toán một xấp xỉ nhân của kích thước. Tuy nhiên, điều gì xảy ra nếu họ muốn tính xấp xỉ cộng gộp kích thước của giao điểm? Có bất kỳ giới hạn dưới hoặc giới hạn trên được biết về vấn đề này?

Tôi đặc biệt quan tâm đến câu hỏi này trong cài đặt các bộ nhỏ, nghĩa là trường hợp các bộ có kích thước . $k \ll n$

reference-request communication-complexity

— Hoặc Meir
nguồn

Bổ sung xấp xỉ c - xấp xỉ giao điểm của hai tập hợp quỹ đạo (n * 2 * c) ít nhất cũng khó như tính toán giao điểm của hai tập n bit; chúng ta giảm từ cái sau sang cái trước bằng cách sao chép mỗi bit 2c lần và làm tròn kích thước giao điểm đến bội số gần nhất của c.

— daniello

Tôi cho rằng việc giảm sau đây từ sự tách rời tập hợp cổ điển sang xấp xỉ -additive sẽ cho bạn giới hạn thấp hơn. Giả sử có giao thức đạt được xấp xỉ . Người chơi của họ nhân đôi từng bit ban đầu thành bit. Do đó, nếu không có giao điểm, đầu ra tối đa là và nếu có giao lộ thì ít nhất là . Điều này đưa ra giới hạn dưới của .

α

$\alpha$

α = f (n)

$\alpha=f(n)$

n

$n$

3 f (n)

$3f(n)$

f (n)

$f(n)$

2 f (n)

$2 f(n)$

Ω (\frac{n}{3 f (n)})

$\Omega(\frac{n}{3f(n)})$

— Sajin Koroth

Cảm ơn! Nếu bạn chuyển ý kiến của bạn thành câu trả lời tôi sẽ chấp nhận chúng.

— Hoặc Meir

Không có hai tập hợp con có kích thước luôn giao nhau?

{1, \dots, n}

$\{1, \ldots, n\}$

n

$n$

— Geoffrey Irving

Câu trả lời:

Tôi sẽ đưa ra hai giới hạn trên. Đặt và là các tập hợp được đưa cho Alice và Bob và đặt,,. $A$ $B$ $a=|A|$ $b=|B|$ $c=|A\cap B|$

Đầu tiên, có một giao thức ngẫu nhiên, được đưa ra và , tính toán xác suất một xấp xỉ của lên đến lỗi cộng , sử dụng bit giao tiếp và bit ngẫu nhiên. $d>0$ $\epsilon>0$ $\ge1-\epsilon$ $c$ $d$ $O\Bigl(\left(\frac{\min\{a,b\}}d\right)^2\log n\log\epsilon^{-1}\Bigr)$ $O\Bigl(\left(\frac{\min\{a,b\}}d\right)^2\log \min\{a,b\}\log\epsilon^{-1}\Bigr)$

Giao thức diễn ra như sau:

Nếu , bên nhìn thấy nó chấm dứt giao thức và xuất ra làm ước tính. Mặt khác, Alice và Bob giao tiếp và với nhau và xác định cái nào nhỏ hơn. Tôi sẽ giả sử bên dưới wlog rằng . $d\ge\min\{a,b\}$ $0$ $a$ $b$ $a\le b$
Alice rút ra các mẫu ngẫu nhiên thống nhất độc lập , và gửi chúng cho Bob. $t=\log(2\epsilon^{-1})a^2/(2d^2)$ $a_i\in A$ $i<t$
Bob ước tính là. $c$ $\frac at|\{i<t:a_i\in B\}|$

Giao thức được chính xác bởi các giới hạn Hoeffding của Chernoff: nếu biểu thị biến ngẫu nhiên chỉ báo của sự kiện , thì , , là các biến iid có nghĩa là . Do đó, và tương tự cho . $X_i$ $a_i\in B$ $X_i$ $i<t$ $p=c/a$

Pr [a \bar{X} \leq c - d] = Pr [\bar{X} \leq p - \frac{d}{a}] \leq \exp (- 2 {(\frac{d}{a})}^{2} t) \leq \frac{ϵ}{2},

$\Pr\left[a\overline X\le c-d\right]=\Pr\left[\overline X\le p-\tfrac da\right]\le\exp\left(-2\left(\tfrac da\right)^2t\right)\le\frac\epsilon2,$

Pr [a \bar{X} \geq c + d]

$\Pr\bigl[a\overline X\ge c+d\bigr]$

Bây giờ, các giới hạn này có phần lãng phí nếu : cũng có các giới hạn Chernoff biến thể nêu sẽ cho phép chúng tôi nhận được với số lượng mẫu nhỏ hơn với hệ số xấp xỉ . Vấn đề là là số lượng chúng ta muốn tính gần đúng, do đó chúng ta không biết trước nó. Điều này có thể được khắc phục bằng cách ước tính công viên bóng đầu tiên của . $c\ll a$

\begin{aligned} Pr [\bar{X} \leq p - δ] & \leq điểm kinh nghiệm (- \frac{δ^{2}}{2 p} t), \\ Pr [\bar{X} \geq p + δ] & \leq điểm kinh nghiệm (- \frac{δ^{2}}{3 p} t), δ \leq p, \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\left[\overline X\le p-\delta\right]&\le\exp\left(-\frac{\delta^2}{2p}t\right),\\ \Pr\left[\overline X\ge p+\delta\right]&\le\exp\left(-\frac{\delta^2}{3p}t\right),\qquad\delta\le p, \end{align}$

t

$t$

p

$p$

p = c / a

$p=c/a$

c

$c$

Vì vậy, giao thức được cải tiến sẽ tính toán với xác suất một phép cộng xấp xỉ của bằng cách sử dụng bit giao tiếp và các bit ngẫu nhiên, và nó diễn ra như sau (các hằng số không được tối ưu hóa): $\ge1-\epsilon$ $d$ $c$ $O\Bigl(\frac{\min\{a,b\}}d\left(1+\frac cd\right)\log n\log\epsilon^{-1}\Bigr)$ $O\Bigl(\frac{\min\{a,b\}}d\left(1+\frac cd\right)\log \min\{a,b\}\log\epsilon^{-1}\Bigr)$

Giống như trên.
Alice rút ra mẫu ngẫu nhiên từ và gửi chúng cho Bob. $r=10(\log\epsilon^{-1})a/d$ $A$
Bob đếm xem có bao nhiêu mẫu trong số này thuộc về và gửi số này, , cho Alice. $B$ $s$
Nếu , giao thức kết thúc với đầu ra . $as/r\le d/2$ $0$
Alice rút ra mẫu ngẫu nhiên , và gửi chúng cho Bob. $t=10sa/d$ $a_i\in A$ $i<t$
Bob ước tính là. $c$ $\frac at|\{i<t:a_i\in B\}|$

Không đi sâu vào chi tiết, giới hạn của Chernoff được trích dẫn ở trên ngụ ý rằng với xác suất cao, giá trị của là , trong trường hợp giao thức không vượt quá chi phí đã nêu và tính toán với xác suất cao một ước tính tốt của bởi một ứng dụng khác của giới hạn Chernoff. $s/r$ $\Theta(c/a)$ $c$

— Emil Jeřábek
nguồn

Cảm ơn câu trả lời hữu ích! Tuy nhiên, tôi chỉ nhận ra rằng tôi đã quên đề cập rằng tôi quan tâm nhiều hơn đến trường hợp các bộ nhỏ so với . Có cách nào để làm cho giao thức của bạn hoạt động trong cài đặt này không? Xin lỗi vì sự nhầm lẫn ...

n

$n$

— Hoặc Meir

Bạn có ý nghĩa gì khi tính gần đúng phụ gia trong một thiết lập như vậy?

— Emil Jeřábek

Tôi sẽ quan tâm đến việc xấp xỉ đến bất kỳ thuật ngữ phụ gia nào có ý nghĩa, bắt đầu từ một hằng số đến tuyến tính theo kích thước của các tập hợp.

— Hoặc Meir

Nhưng lỗi lên đến một phần không đổi của kích thước của tập hợp giống như phép tính gần đúng nhân, phải không?

— Emil Jeřábek

Ồ tôi hiểu rồi, bạn cho phép một phần kích thước của hai bộ ban đầu, ngay cả khi giao điểm nhỏ hơn nhiều.

— Emil Jeřábek

[Câu trả lời của Emil rõ ràng tốt hơn và đơn giản hơn nếu bạn quan tâm đến loại lỗi này, trừ khi vì một lý do nào đó bạn cần giao thức của mình mang tính quyết định. Giáo sư.]

Có các giao thức không cần thiết nếu bạn quan tâm đến các xấp xỉ cộng gộp của loại cho các hằng số nhỏ . $\pm \delta n$ $\delta > 0$

Ví dụ: đây là một:

Alice và Bob mỗi người diễn giải tập hợp của họ dưới dạng biểu đồ trên các nút bằng cách đồng ý với một số ánh xạ chính tắc từ có thể đặt thành cạnh của biểu đồ. $\approx \sqrt{n}$ $n$ $n$
Alice và Bob mỗi người tính toán một phân vùng không đều của đồ thị của họ. Chúng gửi cho nhau các phân vùng ( bit) cộng với mật độ biểu đồ giữa mỗi cặp bộ phân vùng (ví dụ bit, nếu mật độ được báo cáo lên tới bit có độ chính xác số). $(k, \varepsilon)$ $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ $\widetilde{O}_{\varepsilon}(\sqrt{n})$ $\sqrt{n}$
Alice và Bob bây giờ loại bỏ các cạnh, đối với một trong hai phân vùng: (a) có cả hai điểm cuối trong một trong các bộ phân vùng, (b) có cả hai điểm cuối giữa một cặp được đặt không đều hoặc (c) giao nhau đặt trong phân vùng của Alice và trong phân vùng của Bob sao cho nhỏ bất thường. Họ sẽ vứt bỏ tối đa một phần không đổi của các mục, gây ra lỗi phụ gia , nhưng có thể được tạo nhỏ tùy ý bằng cách chọn $(S_1^A, S_2^A)$ $(S_1^B, S_2^B)$ $tối đa {tối thiểu {| S_{1}^{Một} \cap S_{1}^{B} |, | S_{2}^{Một} \cap S_{2}^{B} |}, tối thiểu {| S_{1}^{Một} \cap S_{2}^{B} |, | S_{2}^{Một} \cap S_{1}^{B} |}}$ $\max\left\{ \min\{\left| S_1^A \cap S_1^B \right|, \left|S_2^A \cap S_2^B\right|\}, \min\{\left|S_1^A \cap S_2^B\right|, \left| S_2^A \cap S_1^B \right|\} \right\}$ $\delta > 0$ $\pm \delta n$ $\delta$ $k, \varepsilon$ . Các giao điểm giữa các mục còn lại có thể được ước tính chặt chẽ bằng các phương pháp thống kê tiêu chuẩn, vì các biểu đồ giữa các bộ này tuân theo số liệu thống kê của biểu đồ lưỡng cực ngẫu nhiên với mật độ cho trước.

Nếu loại xấp xỉ này là thú vị đối với bạn, bạn có thể nhận được nhiều dặm hơn từ các bổ đề thường xuyên của đồ thị khác, đặc biệt là Frieze-Kannan. Đây là một cuộc khảo sát.

— GMB
nguồn

Cảm ơn! Kết nối đến các phân vùng thường xuyên là thú vị.

— Hoặc Meir