Có bất kỳ trường hợp khó khăn nào của 3-SAT khi các mệnh đề chỉ có thể sử dụng các chữ có nghĩa là gần nhau hay không?

Đặt các biến là . Khoảng cách giữa hai biến được định nghĩa là. Khoảng cách giữa hai chữ là khoảng cách giữa hai biến tương ứng.$x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$$d(x_a , x_b) = |a-b|$

Giả sử tôi có một ví dụ 3-SAT sao cho với mọi mệnh đề chúng ta có đối với một số giá trị cố định .d ( x a , x b ) ≤ N ∧ d ( x a , x c ) ≤ N ∧ d ( x b , x c ) ≤ N $(x_a , x_b, x_c)$$d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$$N$

Về mặt khái niệm, bạn có thể hình dung điều này vì tất cả các chữ đều nằm trên một dòng và tất cả các mệnh đề đều không có khả năng vượt quá một độ dài nhất định vì lý do vật lý.

Với hạn chế này, có bất kỳ trường hợp khó nào của 3-SAT không? Làm thế nào nhỏ tôi có thể làm cho khu phố và vẫn tìm thấy các trường hợp khó khăn? Nếu tôi cho phép một vài mệnh đề vi phạm ràng buộc thì sao?

Nói một cách khó khăn, ý tôi là một người giải quyết heuristic sẽ rơi vào trường hợp xấu nhất.

Không. Nếu ví dụ 3-SAT có mệnh đề, thì bạn có thể kiểm tra mức độ thỏa mãn trong thời gian O ( m 2 N ) . Vì N là hằng số cố định, đây là thuật toán đa thức thời gian giải quyết tất cả các trường hợp của vấn đề của bạn.$m$$O(m 2^N)$$N$

Thuật toán hoạt động trong giai đoạn. Hãy φ i biểu thị công thức bao gồm các điều khoản mà chỉ sử dụng các biến từ x 1 , ... , x i . Đặt S i ⊆ { 0 , 1 } n biểu thị tập hợp các phép gán cho x i - N , x i - N + 1 , Lỗi , x i có thể được mở rộng thành một phép gán thỏa mãn cho φ i . Lưu ý rằng đã cho $m$$\varphi_i$$x_1,\dots,x_i$$S_i \subseteq \{0,1\}^n$$x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$$\varphi_i$ , chúng ta có thể tính toán S i trongO( 2 N )thời gian: cho mỗicó chứa biến x i ; nếu vậy, chúng tôi thêm( x i - N ,$S_{i-1}$$S_i$$O(2^N)$ , chúng tôi thử cả hai khả năng cho x i và kiểm tra xem nó có thỏa mãn tất cả các mệnh đề từ φ $(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$$x_i$$\varphi_i$$x_i$ đến S i . Tronggiai đoạn thứ i , chúng tôi tính toán S i . Một khi chúng tôi đã kết thúc tất cả m giai đoạn, trường hợp 3-SAT là satisfiable khi và chỉ khi S m ≠ ∅ . Mỗi giai đoạn mấtthời gianvà có m giai đoạn, vì vậy tổng thời gian chạy là O ( m 2 N ) . Đây là đa thức về kích thước của đầu vào, và do đó tạo thành một thuật toán thời gian đa thức.$(x_{i-N},\dots,x_{i})$$S_i$$i$$S_i$$m$$S_m \ne \emptyset$$O(2^N)$$m$$O(m 2^N)$

Ngay cả khi bạn cho phép một số mệnh đề cố định vi phạm ràng buộc, vấn đề vẫn có thể được giải quyết trong thời gian đa thức. Cụ thể, nếu đếm số mệnh đề vi phạm ràng buộc, bạn có thể giải quyết vấn đề trong O ( m 2 $t$, bằng cách đầu tiên liệt kê tất cả các giá trị có thể cho các biến trong các mệnh đề đó, sau đó tiếp tục với thuật toán trên. Khitlà hằng số cố định, đây là thời gian đa thức. Có thể có các thuật toán hiệu quả hơn.$O(m 2^{(t+1)N})$$t$

Biểu đồ sự cố của công thức SAT là biểu đồ lưỡng cực có đỉnh cho mỗi mệnh đề và từng biến. Chúng tôi thêm các cạnh giữa một mệnh đề và tất cả các biến của nó. Nếu đồ thị sự cố đã giới hạn treewidth thì chúng ta có thể quyết định công thức SAT trong P, thực sự chúng ta có thể làm nhiều hơn thế. Biểu đồ sự cố của bạn rất hạn chế. Ví dụ, nó là một biểu đồ đường dẫn giới hạn, vì vậy nó là thời gian đa thức có thể giải được. Để biết kết quả cấu trúc nổi tiếng ở trên, ví dụ: hãy xem: https://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106 .