Quyết định xem một khoảng có chứa số nguyên tố hay không

Sự phức tạp của việc quyết định xem một khoảng của các số tự nhiên có chứa một số nguyên tố không? Một biến thể của Sàng của Eratosthenes đưa ra thuật toán , trong đó là độ dài của khoảng và ẩn các yếu tố đa logarit trong điểm bắt đầu của khoảng; chúng ta có thể làm tốt hơn (về mặt một mình)?L~$\tilde O(L)$$L$$\sim$$L$

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm : Tôi không phải là chuyên gia về lý thuyết số.

Trả lời ngắn gọn : nếu bạn sẵn sàng để đảm nhận "phỏng đoán số lý thuyết hợp lý", sau đó chúng ta có thể nói cho dù có là số nguyên tố trong khoảng trong thời gian p o l y l o g ( n ) . Nếu bạn không sẵn sàng làm như vậy một giả định, sau đó có một thuật toán đẹp do Odlyzko mà đạt được n 1 / 2 + o ( 1 ) , và tôi tin rằng đây là tốt nhất được biết đến.$[n, n+\Delta]$$\mathrm{polylog}(n)$$n^{1/2 + o(1)}$

Liên kết rất hữu ích với nhiều thông tin tuyệt vời về một vấn đề liên quan chặt chẽ : Dự án PolyMath về các thuật toán xác định để tìm các số nguyên tố .

Câu trả lời dài :

Đây là một vấn đề khó khăn, một lĩnh vực nghiên cứu tích cực và dường như có mối liên hệ mật thiết với câu hỏi khó về khoảng cách giới hạn giữa các số nguyên tố. Vấn đề của bạn rất giống với vấn đề tìm kiếm một số nguyên tố giữa và 2 n một cách xác định, gần đây là chủ đề của dự án PolyMath . (Nếu bạn muốn thực sự đi sâu vào những câu hỏi này, liên kết đó là một nơi tuyệt vời để bắt đầu.) Đặc biệt, các thuật toán tốt nhất của chúng tôi cho cả hai vấn đề về cơ bản là giống nhau.$n$$2n$

Trong cả hai trường hợp, thuật toán tốt nhất phụ thuộc rất nhiều vào kích thước của các khoảng trống giữa số nguyên tố. Cụ thể, nếu sao cho luôn có một số nguyên tố giữa n và n + f ( n ) (và f ( n ) có thể được tính toán một cách hiệu quả), thì chúng ta luôn có thể tìm thấy một số nguyên tố trong thời gian p o l y l o g ( n ) ⋅ f ( n ) như sau. Để xác định xem có một số nguyên tố giữa n và n $f(n)$$n$$n + f(n)$$f(n)$$\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$$n$ , kiểm tra đầu tiên nếu Δ ≥ f ( n ) . Nếu vậy, đầu ra có. Mặt khác, chỉ cần lặp qua các số nguyên giữa n và n + Δ và kiểm tra từng số nguyên và trả lời có nếu bạn tìm thấy một số nguyên tố và không có cách nào khác. (Điều này có thể được thực hiện một cách xác định, đó là lý do tại sao việc xác định tìm một số nguyên tố giữa n và 2 n có liên quan chặt chẽ đến việc xác định liệu có một số nguyên tố trong một khoảng nhất định hay không.)$n + \Delta$$\Delta \geq f(n)$$n$$n + \Delta$$n$$2n$

Nếu các số nguyên tố hành xử như chúng ta nghĩ, thì đây là phần cuối của câu chuyện (tối đa là các yếu tố ). Cụ thể, chúng tôi hy vọng có thể lấy f ( n ) = O ( log 2 n ) . Điều này được gọi là phỏng đoán của Cramér sau Harald Cramér, và chứng minh rằng nó dường như rất xa tầm với vào lúc này. Nhưng, theo như tôi biết, nó được nhiều người tin tưởng. (Một đến tại phỏng đoán này, ví dụ, từ heuristic các số nguyên tố hoạt động giống như các thiết lập ngẫu nhiên của số nguyên thu được bằng cách bao gồm mỗi số nguyên n ≥ $\mathrm{polylog}(n)$$f(n) = O(\log^2 n)$$n \geq 3$độc lập ngẫu nhiên với xác suất .)$1/\log n$

Có rất nhiều phỏng đoán ngụ ý các yếu hơn nhiều nhiều ràng buộc , chẳng hạn nhưphỏng đoán của Legendre. (Tôi không biết bất cứ phỏng đoán mà được biết là để ngụ ý một ràng buộc trung gian, mặc dù tôi tưởng tượng rằng chúng tồn tại.) Và, giả thuyết Riemann được biết là ngụ ý tương tự ràng buộcf(n)≤O($f(n) \leq O(\sqrt{n})$. Vì vậy, nếu bạn giả sử những phỏng đoán này, về cơ bản, bạn phù hợp với thuật toán của Odlyzko (tăng hệ sốn o ( 1 ) ) với thuật toán đơn giản hơn nhiều.$f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$$n^{o(1)}$

Tôi tin rằng ràng buộc vô điều kiện tốt nhất hiện nay là do Baker, Harman và Pintz . Vì vậy, nếu bạn không cho rằng không có gì, thì thuật toán của Odlyzko đánh bại thuật toán rõ ràng gần bằng hệ số n 0,025 .$\widetilde{O}(n^{0.525})$$n^{0.025}$