Trọng lượng tối thiểu phù hợp hoàn hảo với số cạnh màu đỏ chẵn

Hãy xem xét một biểu đồ có trọng số với một số cạnh màu đỏ. Chúng tôi quan tâm đến việc tìm kiếm một kết hợp hoàn hảo, sao cho số cạnh màu đỏ là chẵn và theo các ràng buộc trước đó, trọng lượng được giảm thiểu.

Là vấn đề này có thể giải quyết trong thời gian đa thức? Ngay cả đối với đồ thị lưỡng cực?

Điều gì về một phần mở rộng tự nhiên. Trường hợp có số lượng màu không đổi và số cạnh của mỗi màu trong kết hợp phải là số chẵn.

Tôi nghĩ rằng vấn đề của bạn có thể giải quyết được trong thời gian đa thức ngẫu nhiên, nếu các trọng số được giới hạn đa thức trong kích thước của biểu đồ. Bạn có thể sử dụng một cách tiếp cận dựa trên thuật toán so khớp đại số của Mulmuley, Vazirani và Vazirani. Nó rất hữu ích cho các ứng dụng tương tự trong quá khứ, xem ví dụ Dự luật 9 và thảo luận trước trong bài viết của Daniel Marx https://doi.org/10.1016/j.ipl.2003.09.016 .

$n$$W$$(nW+1) + x$$[0 ... nW]$$[2(nW+1) ... 2(nW+1) + nW]$

Do đó, để tìm ra sự phù hợp trọng lượng tối thiểu với số cạnh màu đỏ chẵn, nó phải vượt qua tất cả các phạm vi trọng lượng tương ứng với sự trùng khớp với số cạnh màu đỏ chẵn, kiểm tra từng trọng lượng trong phạm vi đó xem có khớp hoàn hảo không trọng số đó và chia tỷ lệ trọng lượng của mỗi lần khớp lại có trọng số lại dựa trên số cạnh màu đỏ có trong nó, để tìm ra cái nào trong số này tương ứng với kết hợp hoàn hảo có trọng lượng tối thiểu màu đỏ trong đồ thị ban đầu của bạn. Bằng các kỹ thuật tự giảm tiêu chuẩn, sau đó bạn cũng có thể trích xuất chính kết quả khớp thay vì chỉ giá trị, nhưng bạn có thể phải tăng xác suất thành công bằng cách thực hiện nhiều thử nghiệm để có được xác suất thành công tốt khi thực hiện tự giảm.

Vấn đề là thời gian đa thức có thể giải được.

Sau khi thảo luận với Vivek Madan , chúng ta có thể chỉ ra rằng bằng chứng của Định lý 5.1 trong Kết hợp hoàn hảo trong Đồ thị hai mặt phẳng Bipartite cũng nằm trong bối cảnh trọng số (kết quả của chúng là quyết định xem có giải pháp khả thi nào không).

$R$$M$$|M\cap R|$$C$$M$$|C\cap R|$$M$$M\triangle C$

$M\triangle C$

Vấn đề giảm xuống để tìm một chu kỳ xen kẽ có chứa một số cạnh màu đỏ lẻ.

Đối với các biểu đồ lưỡng cực, vấn đề rất dễ dàng, vì có thể giảm xuống để tìm một chu kỳ lẻ trọng lượng tối thiểu trong một biểu đồ có hướng không có chu kỳ âm. Điều này dường như có thể giải quyết được trong thời gian đa thức bởi các tài khoản khác nhau (nhưng tôi không thể tìm thấy một trích dẫn cụ thể). Một thuật toán như Floyd-Warshall là đủ. Đối với các biểu đồ chung, một cách tiếp cận tương tự hoạt động, nhưng việc giảm có liên quan nhiều hơn một chút. Chúng tôi thực sự không biết làm thế nào để làm điều đó cho đồ thị chung.

Lưu ý trường hợp đồ thị lưỡng cực thực sự xuất phát từ một định lý tổng quát hơn. Ở đây chúng tôi trích dẫn trực tiếp vấn đề sau từ Artmann, Weismantel, Zenklusen 17

Tối ưu hóa chẵn lẻ TU

$T$$rank(T)=n$$b\in > \mathbb{Z}^m,c\in \mathbb{Z}^n,\alpha\in \{0,1\}$$S\subset [n]$

$$\max\{c^T x: Tx\leq b, x\in \mathbb{Z}^n_{\geq 0}, x(S)\equiv \alpha \pmod 2\}$$

$rank(T)=n$$x_i\geq 0$$i$

Chúng tôi không có ý tưởng về trường hợp có một số lượng màu không đổi.