Số tự nhiên không so sánh

"Tên trò chơi số lớn nhất" yêu cầu hai người chơi viết ra một số bí mật và người chiến thắng là người đã viết ra số lớn hơn. Trò chơi thường cho phép người chơi viết ra các chức năng được đánh giá tại một điểm, vì vậy cũng sẽ là một điều có thể chấp nhận để viết ra. $2^{2^{2^{2}}}$

Không thể xác định giá trị của hàm Busy Beaver, (trong ZFC hoặc bất kỳ hệ tiên đề nhất quán hợp lý nào) cho các giá trị lớn của . Cụ thể, không thể được xác định theo bài viết này . Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là chúng ta không thể so sánh các giá trị của hàm Busy Beaver. Ví dụ, chúng ta có thể chứng minh rằng hoàn toàn đơn điệu . $BB(x)$ $x$ $BB(10^4)$ $BB(x)$

Giả sử rằng chúng tôi cho phép người chơi viết ra các biểu thức liên quan đến các thành phần của các hàm cơ bản, số tự nhiên và hàm Busy Beaver. Có hai biểu thức mà hai người chơi có thể viết ra để chúng tôi có thể chứng minh trong ZFC rằng việc xác định người chiến thắng trong ZFC là không thể (giả sử ZFC là nhất quán)?

EDIT: Ban đầu câu hỏi này nói rằng ... kết hợp tùy ý các hàm tính toán, số tự nhiên và hàm Busy Beaver.

Nếu chúng ta để nhận giá trị nếu [một cái gì đó vô duyên lớn và không thể diễn tả được trên trang web này] và nếu không, thì và là không thể so sánh được. $f(x)$ $3$ $BB(x) >$ $7$ $f(10^4)$ $6$

Điều này không làm tôi hài lòng, phần lớn vì không phải là chức năng hợp lý cho ai đó sử dụng trong trò chơi này. Mặc dù vậy, tôi không thấy cách diễn đạt trực giác của mình về vấn đề này, vì vậy tôi đã hạn chế câu hỏi để tránh các chức năng từng phần. $f$

computability undecidability

— Stella thầu
nguồn

Tính không ổn định của có thể được mở rộng thành các bit riêng lẻ không? Nếu vậy, thì bạn sẽ phải làm một cái gì đó như so sánh bit ít quan trọng thứ 3 với bit đáng kể thứ 8.

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

— mhum

@mhum câu hỏi như thế là khó vì giá trị của thực sự phụ thuộc vào mã hóa. Ví dụ, có các bảng mã mà luôn chẵn. Sự hiểu biết của tôi là tất cả các câu hỏi dọc theo các dòng đó đều có thể tính toán được hoặc mở, tùy thuộc vào mã hóa.

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

— Stella Biderman

Theo câu trả lời trong bài đăng này: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/iêu , có vẻ như BB thực sự rất đơn điệu

— Avi Tal

Nghệ thuật chơi các trò chơi như vậy là bẻ cong các quy tắc, vì vậy tôi không nghĩ rằng việc tính một số chức năng là không hợp lý. Nếu chúng tôi chơi trò chơi, tôi chắc chắn sẽ đánh bạn với chức năng kinh tởm nhất mà tôi có thể nghĩ đến (và tôi là một nhà logic học).

— Andrej Bauer

Khi bạn nói "không thể giải quyết được" tôi cho rằng bạn có nghĩa là nó độc lập với một lý thuyết như ZFC. Sẽ có các câu lệnh như (đối với các số tự nhiên , ) không được quyết định bởi ZFC, giả sử ZFC là nhất quán. Bởi vì nếu không, chúng ta có thể tính toán hàm chỉ bằng cách tìm kiếm bằng chứng trong ZFC của các câu lệnh đó.

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

Vì hoàn thành Turing nên có một số máy Turing với Con (ZFC) chấp nhận với oracle (trên đầu vào 0, giả sử) và Con (ZFC) từ chối. $B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

Bây giờ giả sử rằng Con (ZFC) thực sự là đúng, chúng tôi biết chấp nhận và có một số tập hợp các sự kiện , đã được sử dụng trong tính toán (chúng tôi có thể thiết lập nó để truy cập oracle hoạt động theo cách này). Sau đó là sai, nhưng thực tế này không thể chứng minh được trong ZFC, ZFC khác sẽ chứng minh tính nhất quán của chính nó. Tất nhiên, điều này có thể được viết lại dưới dạng và do đó có thể tranh ( *) cung cấp câu trả lời Có cho câu hỏi của bạn. $\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

Tuy nhiên, tôi không nghĩ rằng chúng ta có thể tìm ra những con số , là gì, bởi vì các truy vấn có tính thích ứng (những gì được hỏi phụ thuộc vào câu trả lời cho các câu hỏi trước đó và chúng ta không biết những câu trả lời đó). $m_i$ $n_i$

— Bjørn Kjos-Hanssen
nguồn

Đây là một bằng chứng tồn tại tuyệt vời về những gì tôi đang tìm kiếm. Tuy nhiên, tôi đặc biệt sau một ví dụ thực tế của một phương trình như vậy, với một số loại biểu thức chúng ta có thể viết ra cho . Bạn cũng đúng về việc tôi sử dụng những điều không thể tin được của tôi là không chính xác, tôi đã sửa đổi câu hỏi của mình.

n, m

$n,m$

— Stella Biderman

@StellaBerman có và dù sao đi nữa nếu thì tuyên bố độc lập với ZFC bởi Aaronson và kết quả của Yedidia tại arxiv.org/abs/1605.04343

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$

— Bjørn Kjos-Hanssen