Số lượng 4 chu kỳ

Đặt là một chu kỳ có bốn đỉnh. Đối với đồ thị tùy ý có đỉnh và m cạnh cho biết , có bao nhiêu s tồn tại? Có giới hạn dưới cho điều này?$C_4$$G$$n$$m>n\sqrt n$$C_4$

Vâng, điều này được biết đến. Với $d = \Omega(n^{1/2})$ với hằng số ẩn đủ lớn, bất kỳ đồ thị $n$ -ode nào có độ trung bình $d$ đều có $\Omega(d^4)$ tổng $C_4$ s. Điều này là tốt nhất có thể bởi vì nó được nhận ra bởi một biểu đồ ngẫu nhiên.

Tài liệu tham khảo sớm nhất mà tôi biết về điều này là "Đồ thị siêu bão hòa và các vấn đề liên quan" của Erdos và Simonovits, nơi nó được tuyên bố mà không có bằng chứng. Có nhiều bằng chứng ngoài kia, ngoài đỉnh đầu tôi thấy Bổ đề 3 ở đây .