Thuật toán có thời gian chạy phụ thuộc vào P so với NP

Có một ví dụ rõ ràng về thuật toán có thuộc tính sao cho nếu $P\neq NP$ thì thuật toán này không chạy trong thời gian đa thức và nếu $P=NP$ thì nó chạy trong thời gian đa thức?

Nếu bạn cho rằng $P=^?NP$ có thể chứng minh được bằng PA (hoặc ZFC), một ví dụ tầm thường là như sau:

Input: N   (integer in binary format)
For I = 1 to N do
begin
  if I is a valid encoding of a proof of P = NP in PA (or ZFC)
    then halt and accept
End
Reject

Một ví dụ khác - ít tầm thường hơn - không dựa vào giả định nào như sau:

Input: x   (boolean formula)
Find the minimum i such that
  1) |M_i| < log(log(|x|))  [ M_1,M_2,... is a standard fixed TM enumeration] 
  2) and  M_i solves SAT correctly 
       on all formulas |y| < log(log(|x|))
          halting in no more than |y|^|M_i| steps
          [ checkable in polynomial time w.r.t. |x| ]
  if such i exists simulate M_i on input x 
      until it stops and accept/reject according to its output
      or until it reaches 2^|x| steps and in this case reject;
  if such i doesn't exist loop for 2^|x| steps and reject.

Nếu $P =NP$ , thuật toán sẽ sớm hay muộn - giả sử trên đầu vào $x_0$ - tìm chỉ số của máy Turing thời gian đa thức (hoặc phiên bản đệm của nó) $M_{SAT}$ giải SAT trong $O( |x| ^ { |M_{SAT}| })$ và cho tất cả các đầu vào lớn hơn $x_0$ sẽ tiếp tục mô phỏng nó và tạm dừng trong thời gian đa thức (lưu ý rằng bước 2 cũng có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức). Nói cách khác, nếu $P = NP$ thuật toán giải SAT trong thời gian đa thức trên một số trường hợp hữu hạn.

$P \neq NP$