Công thức tương đương của lý thuyết phức tạp trong Lambda Tính?

Trong lý thuyết phức tạp, định nghĩa về độ phức tạp của thời gian và không gian đều tham chiếu một máy Turing phổ dụng: resp. số lượng các bước trước khi tạm dừng và số lượng ô trên băng đã chạm vào.

Với luận điểm Church-Turing, có thể định nghĩa độ phức tạp theo thuật toán lambda là tốt.

Quan niệm trực quan của tôi là độ phức tạp thời gian có thể được biểu thị bằng số lượng giảm (chúng ta có thể xác định chuyển đổi α bằng cách sử dụng các chỉ số De Brujin và anyway hầu như không phải là giảm), trong khi độ phức tạp không gian có thể được định nghĩa là số các biểu tượng (λ's, DB-indexes, sử dụng biểu tượng của biểu tượng) trong mức giảm lớn nhất .

Điều này có đúng không? Nếu vậy, tôi có thể nhận được một tài liệu tham khảo ở đâu? Nếu không, làm sao tôi nhầm được?

Như bạn chỉ ra, phép tính λ có một khái niệm đơn giản về độ phức tạp thời gian: chỉ cần đếm số bước giảm. Thật không may, mọi thứ không đơn giản. Chúng ta nên hỏi:

 Is counting β-reduction steps a good complexity measure?

$M$$|M|$$M$$poly(|M|)$$tr(M)$$poly(|tr(M)|)$

Trong một thời gian dài, không rõ liệu điều này có thể đạt được trong phép tính. Không. Các vấn đề chính là như sau.

• Có các thuật ngữ tạo ra các hình thức bình thường trong một số bước đa thức có kích thước theo cấp số nhân. Xem (1). Ngay cả việc viết ra các hình thức bình thường cũng mất thời gian theo cấp số nhân.

• Chiến lược giảm được lựa chọn cũng đóng một vai trò quan trọng. Ví dụ, tồn tại một nhóm các thuật ngữ làm giảm số lượng các bước parallel song song (theo nghĩa giảm-tối ưu (2), nhưng độ phức tạp của nó không phải là sơ cấp (3, 4).

Bài viết (1) làm rõ vấn đề bằng cách hiển thị một mã hóa hợp lý bảo toàn lớp phức tạp PTIME giả sử giảm các cuộc gọi theo tên ngoài cùng bên trái. Cái nhìn sâu sắc quan trọng dường như là sự nổ tung theo cấp số nhân chỉ có thể xảy ra vì những lý do không thú vị có thể bị đánh bại bằng cách chia sẻ đúng các thuật ngữ phụ.

Lưu ý rằng các giấy tờ như (1) cho thấy các lớp phức tạp thô như PTIME trùng khớp, cho dù bạn đếm các bước bước hay Turing-machine. Điều đó không có nghĩa là các lớp phức tạp thấp hơn như O (log n) cũng trùng khớp. Tất nhiên các lớp phức tạp như vậy cũng không ổn định dưới sự biến đổi của mô hình máy Turing (ví dụ: 1 băng so với đa băng).

Công trình của D. Mazza (5) chứng minh định lý Cook-Levin (hoàn thành SAT) bằng ngôn ngữ chức năng (một biến thể của tính toán λ) thay vì máy Turing. Cái nhìn sâu sắc chính là đây:

$$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$

Tôi không biết nếu tình hình liên quan đến sự phức tạp không gian được hiểu.

---

1. B. Accattoli, U. Dal Lago, Beta Giảm là bất biến, Thật vậy .

2. J.-J. Levy, Reductions sửa et tối ưu dans le lambda-tính.

3. JL Lawall, HG Mairson, Sự lạc quan và kém hiệu quả: đâu là mô hình chi phí của phép tính lambda ?

4. A. Asperti, H. Mairson, Giảm song song beta không phải là đệ quy sơ cấp .

5. D. Mazza, Nhà thờ gặp Cook và Levin .

$\beta$$\lambda$

$\mathsf L$$\mathsf P$$M\to^\ast N$$M$

$\beta$