Kích thước PCP không triệu chứng được biết đến nhiều nhất / 3-SAT

Các giới hạn trên không triệu chứng được biết đến nhiều nhất về kích thước của bằng chứng kiểm tra xác suất là gì? Lý tưởng nhất, tôi đang tìm kiếm một cuộc khảo sát đương đại về câu hỏi rộng này, nhưng nếu không có, tôi đặc biệt quan tâm đến tính không thể đạt được của 3-SAT.

Đặt 7/8 +-3-SAT là 3-SAT với lời hứa rằng nếu 7/8 + ε các mệnh đề là thỏa đáng, thì trường hợp đó là thỏa đáng. Các mức giảm 3-SAT được biết đến nhiều nhất với $n$ mệnh đề là 7/8 +-3-SAT là gì? Ví dụ: có giảm sử dụng mệnh đề $O(n \log n)$ không? ( $O(n)$ điều khoản là một vấn đề mở.) Giảm thống nhất kích thước quasilinear NC? Sự phụ thuộc vào những gì là , kể cả khi ? Có kích thước tuyến tính đã biết (phụ thuộc vào ) giảm (1-ε) -3-SAT xuống 7/8 +-3-SAT không, và nếu không, chúng ta có giới hạn tốt hơn cho (1-ε) -3 -ĐÃ NGỒI? Ngay cả một câu trả lời một phần sẽ thú vị.$ε$$ε→0$$ε$

Ngoài ra, trong khi nó có thể làm cho câu hỏi quá rộng, tôi nên đề cập rằng một vấn đề quan trọng khác ở đây là các yếu tố không đổi, do các kỹ thuật như mã dài thường rất lớn.

Các công nghệ tiên tiến cho các PCP mang lại sự giảm xuống 3-SAT (ngay cả đối với hằng số phụ ) là của Dana Moshkovitz và Ran Raz , có độ dài . Tuy nhiên, tôi không biết nếu có ai cố gắng tính toán sự phụ thuộc chính xác của độ dài vào hoặc độ phức tạp tính toán của việc giảm. Kết quả kỹ thuật chính của họ đã được đơn giản hóa sau đó bởi Irit Dinur và Prahladh Harsha .$(\frac{7}{8}+\varepsilon)$$\varepsilon$$n^{1 + o(1)}$$\varepsilon$

Nếu bạn quan tâm đến các PCP ngắn với số lượng truy vấn không đổi mà không nhất thiết phải giảm mức độ gần đúng tối ưu (hay còn gọi là "các PCP có lỗi cao"), thì kết quả hiện đại là các PCP có độ dài do Eli Ben-Sasson và Madhu Sudan và sự cải tiến của Dinur . Một lần nữa, tôi không biết có ai là người phức tạp chính xác trong việc giảm thiểu tính toán không.$n\cdot \mathrm{poly}\log n$