Hiểu bằng chứng về sự bình thường hóa mạnh mẽ của phép tính công trình

Tôi gặp khó khăn trong việc tìm hiểu bằng chứng về sự chuẩn hóa mạnh mẽ cho việc tính toán các công trình. Tôi cố gắng làm theo bằng chứng trong bài báo của Herman Geuvers "Một bằng chứng ngắn gọn và linh hoạt về Bình thường hóa mạnh mẽ cho Tính toán công trình".

Tôi có thể theo dòng chính của lý luận tốt. Cấu trúc Geuvers cho mỗi loại $T$ một giải thích $[\![T]\!]_\xi$ dựa trên một số đánh giá của loại biến $\xi(\alpha)$ . Và sau đó, ông xây dựng một số giải thích thuật ngữ $(\!|M|\!)_\rho$ dựa trên một số đánh giá của các biến hạn $\rho(x)$ và chứng minh rằng cho đánh giá hợp lệ sự khẳng định $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ cho tất cả $\Gamma\vdash M:T$ nắm giữ.

Vấn đề của tôi: Đối với các loại dễ dàng (như các loại hệ thống F), việc giải thích kiểu $[\![T]\!]_\xi$ thực sự là một tập hợp các thuật ngữ, vì vậy sự khẳng định $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ có ý nghĩa. Nhưng đối với các loại phức tạp hơn, việc giải thích $[\![T]\!]_\xi$ không phải là một tập hợp các thuật ngữ mà là một tập hợp các chức năng của một số không gian chức năng phù hợp. Tôi nghĩ rằng, tôi gần như hiểu được việc xây dựng các không gian chức năng, tuy nhiên nó không thể gán bất kỳ ý nghĩa nào cho $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ cho các loại phức tạp hơn $T$ .

Bất cứ ai có thể giải thích hoặc cung cấp liên kết đến một số bài thuyết trình dễ hiểu hơn về bằng chứng?

Chỉnh sửa: Hãy để tôi cố gắng làm cho câu hỏi rõ ràng hơn. Một bối cảnh $\Gamma$ có tờ khai cho các biến kiểu $\alpha:A$ biến và đối tượng. Một định giá loại là hợp lệ, nếu cho tất cả $(\alpha:A) \in \Gamma$ với $\Gamma\vdash A:\square$ sau đó $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ là hợp lệ. Nhưng $\nu(A)$ có thể là một yếu tố của $(SAT)^*$ và không chỉ $SAT$ . Do đó, không có đánh giá thuật ngữ hợp lệ có thể được xác định cho $\rho(\alpha)$ . $\rho(\alpha)$ phải là một số hạng và không phải là một số chức năng của một không gian hàm.

Chỉnh sửa 2: Ví dụ không hoạt động

Chúng ta hãy làm cho nguồn gốc hợp lệ sau:

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & axiom \\ [α : *] & ⊢ & α : * & variable introduction \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & weaken \\ [] & ⊢ & (Π α : * . *) : ◻ & product formation \\ [β : Π α : * . *] & ⊢ & β : (Π α : * . *) & variable introduction \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

Trong bối cảnh cuối cùng, việc đánh giá loại hợp lệ phải thỏa mãn $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$ . Đối với đánh giá loại này không có đánh giá thuật ngữ hợp lệ.

— mũ bảo hiểm
nguồn

Một nửa số người đọc nó sẽ nghĩ rằng

là SAT. Bạn nên giải thích nó là gì. Ngoài ra, phái sinh của bạn có vẻ hơi kỳ quặc. Dòng thứ hai không nên đề cập đến

, trong kết luận của nó, nó shoudl đọc một cái gì đó như

, nên nó không?

S A T

$SAT$

α

$\alpha$

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$

— Andrej Bauer

SAT

$\text{SAT}$

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$

s

$s$

Tôi hiểu làm thế nào bạn có được dòng thứ hai nhưng nó không phải là tiền đề chính xác cho sự hình thành của dòng thứ ba, phải không? Quy tắc nào cho dòng thứ ba.

— Andrej Bauer

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$

*

$*$

◻

$\Box$

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$

Thật không may, tôi không chắc có nhiều tài nguyên thân thiện với người mới bắt đầu hơn tài khoản của Geuvers. Bạn có thể thử ghi chú này từ Chris Casinghino, người đưa ra một tài khoản về một số bằng chứng chi tiết.

Tôi không chắc là tôi hiểu ý chính của sự nhầm lẫn của bạn, nhưng tôi nghĩ một điều quan trọng cần lưu ý, là bổ đề sau (Hệ quả 5.2,14), đã được chứng minh trong văn bản Barendregt cổ điển :

Γ ⊢ M : T \Rightarrow Γ ⊢ T : * or ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

$[\![T]\!]_\xi$ $\Gamma \vdash M:T$ $[\![T]\!]_\xi$

$(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ $\Gamma \vdash t:T :*$ ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$

$*$ $\mathrm{SAT}^*$ $*$ $\square$

— cody
nguồn

Cảm ơn đã giải thích. Điều đó giải quyết vấn đề của tôi về việc không hiểu các chức năng được sử dụng trong chứng minh của Geuver. Tôi đã có một sự nghi ngờ từ việc đọc và đọc lại bài viết của Geuver, nhưng bạn đã làm cho nó rõ ràng.

— helmut