Chiến lược chiến thắng trong trò chơi ba người

Các trò chơi của ba được xác định bởi một tập hợp hữu hạn các yếu tố $X$ , và một đa tập hữu hạn $T$ có chứa ba yếu tố. Hai người chơi lần lượt chọn các yếu tố từ $X$ cho đến khi tất cả các yếu tố được thực hiện. Sau đó, điểm của mỗi người chơi là số lượng bộ ba từ $T$ trong đó anh ta có ít nhất 2 yếu tố.

Một lập luận đánh cắp chiến lược tiêu chuẩn cho thấy rằng người chơi đầu tiên luôn có thể ghi được ít nhất $|T|/2$ . Giả sử bởi mâu thuẫn rằng nó là sai. Sau đó, người chơi thứ hai có thể ghi nhiều hơn $|T|/2$ . Nhưng sau đó, người chơi đầu tiên, sao chép chiến lược chiến thắng của người chơi thứ hai, có thể ghi được nhiều hơn $|T|/2$ cũng vậy. Đây là một mâu thuẫn vì tổng điểm là $|T|$.

CÂU HỎI: chiến lược rõ ràng để người chơi đầu tiên đạt được số điểm ít nhất là gì $|T|/2$ ?

EDIT: Đây là một chiến lược rõ ràng để người chơi đầu tiên nhận được ít nhất $3|T|/8$ . Đối với mỗi bộ ba trong $T$ , chỉ định một $P(a,b)$ tiềm năng dựa trên số lượng phần tử được lấy bởi người chơi (thứ nhất, thứ hai):

Chiến lược của Người chơi 1 là: chọn một yếu tố tối đa hóa tổng tiềm năng. Giả sử phần tử đó là $x$ và phần tử được chọn bởi người chơi 2 là $y$ . Tôi cho rằng tổng tiền tiềm năng sau hai lần di chuyển này tăng yếu:

• Tiềm năng của một bộ ba không chứa $x$ và $y$ không thay đổi.
• Tiềm năng của một bộ ba chứa cả $x$ và $y$ thay đổi từ $P(a,b)$ thành $P(a+1,b+1)$ , luôn luôn ít nhất là lớn.
• Tiềm năng của một bộ ba chứa $x$ và không $y$ tăng theo $P(a+1,b)-P(a,b)$ ;
• Tiềm năng của một bộ ba chứa $y$ và không $x$ giảm theo $P(a,b)-P(a,b+1)$ ; nó rất dễ dàng để kiểm tra trong bảng đó $P(a,b)-P(a,b+1)\leq P(a+1,b)-P(a,b)$ (mức giảm khi đi bên phải nhiều nhất là mức tăng khi đi xuống).

Nói chung, tổng tiềm năng tăng theo tổng $P(a+1,b)-P(a,b)$ trên tất cả các bộ ba có chứa $x$ và giảm (nhiều nhất) tổng của $P(a+1,b)-P(a,b)$ trên tất cả các bộ ba có chứa $y$ . Theo sự lựa chọn của $x$ , tổng đầu tiên lớn hơn một cách yếu. Vì vậy, tổng tiềm năng tăng yếu.

Vậy tổng tiềm năng cuối cùng ít nhất là $3|T|/8$ . Cuối cùng, một bộ ba có tiềm năng $1$ ( $0$ ) nếu người chơi 1 (2) giành chiến thắng, do đó, tổng tiềm năng cuối cùng bằng với điểm số của người chơi 1.

Đây không phải là một bằng chứng hoàn chỉnh, nhưng đây là một số bằng chứng cho lý do tại sao các phỏng đoán được biết ngụ ý rằng trò chơi có thể khó tính toán. Cụ thể, tôi sẽ tranh luận rằng việc tìm ra nước đi đầu tiên chính xác có lẽ đã khó.

Bước đầu tiên, chúng tôi lập luận rằng trò chơi bộ ba khó hơn (theo nghĩa thích hợp) so với trò chơi Biểu đồ $\textrm{Denser Induced Subgraph}$ được định nghĩa như sau.

Hai người chơi, A và B, chọn các đỉnh chọn xen kẽ trên một biểu đồ chung G. Chỉ có thể chọn các đỉnh. Khi không còn các đỉnh được chọn nữa, các sơ đồ con được tạo ra bởi các lựa chọn của mỗi người chơi sẽ được so sánh. Người chơi có số cạnh cảm ứng lớn hơn được tuyên bố là người chiến thắng.

Bằng chứng phác thảo:

$\textrm{Denser Induced Subgraph}$$G = (V,E)$$\textrm{Triplets}$$G$$V \cup (E \times \{0,1\})$$e \in E$$u$$v$$(u, v, (e, 0))$$(u, v, (e, 1))$$v \in V$$(v,v,v)$

$\mathrm{Triplets}$$V$$E$$E \times \{0,1\}$$1$$1$$V$$4$

$|V|$$V$

$V_A$$V_B$$(v,v,v)$$4|V|/2 + 2|E[V_A]| + (|E| - |E[V_A]| - |E[V_B]|)$$E[S]$$S$$\square$

Với suy nghĩ này, chúng ta có thể thu hút một số công việc trong tài liệu phát hiện các sơ đồ dày đặc. Có rất nhiều công việc liên quan về vấn đề này mà người ta có thể thu hút, nhưng để phân tích đơn giản, tôi sẽ kháng cáo một phỏng đoán cụ thể về khó khăn trong việc tìm kiếm các biểu đồ ngẫu nhiên dày đặc trong các biểu đồ ngẫu nhiên thưa thớt (tôi tin rằng sự phụ thuộc này có thể được loại bỏ chỉ cần suy nghĩ thêm một chút, nhưng điều này không có nghĩa là một bằng chứng chính thức).

$G = (V,E)$$G(n, 1/\sqrt{n})$$1/2$$G$$V'$$V$$\sqrt{n}$$u,v$$V'$$(u,v)$$E$$n^{-1/4}$$G$

$51\%$

Giả sử rằng đồ thị đã được tăng cường, và có một thành phần dày đặc khác thường. Do không có thuật toán đa thời gian nào có thể phát hiện được sự hiện diện của biểu đồ con dày đặc này, nên nó cũng không thể lấy mẫu một cách đáng tin cậy một đỉnh từ thành phần dày đặc này (ví dụ do khả năng tự giảm). Do đó, vì (theo quan điểm của Người chơi A), việc chọn một đỉnh ngẫu nhiên từ biểu đồ Erdos-Renyi thuần túy, không quan trọng việc chọn đỉnh A nào (cho đến một thay đổi nhỏ trong việc ghi điểm sẽ không thành vấn đề ¹$r$$r-1$$r$

$r$$r$$\Omega(n^{1/4})$

^$O(1)$

Do đó, mặc dù trò chơi được giải quyết rất yếu cho người chơi A, nhưng không chắc là nó khả thi về mặt tính toán cho A để chơi ngay cả bước đầu tiên của chiến lược chiến thắng.

Một cách tiếp cận dựa trên độ cứng của vấn đề đồ thị con dày đặc nhất "bình thường" cũng không khó để đạt được ở đây, và việc tính toán giảm với độ cứng của kết quả gần đúng có thể được sử dụng để có được một số loại độ cứng dựa trên các phỏng đoán chính thống hơn ( ví dụ ETH). Tôi không chắc những khó khăn khi di chuyển đến độ cứng NP (hoặc hơn thế nữa) có thể là gì.