Là DSPACE (n) = DSPACE (1.5n)?

Từ định lý phân cấp không gian, người ta biết rằng nếu $f$ là không gian có thể xây dựng thì DSPACE ( $2f(n)$ ) không bằng DSPACE ( $f(n))$ .

Ở đây, bởi DSPACE ( $f(n))$ Tôi có nghĩa là lớp của tất cả các vấn đề có thể được giải quyết trong không gian $f(n)$ bằng máy Turing với một số bảng chữ cái cố định. Điều này cho phép xem xét định lý phân cấp không gian với độ chính xác như vậy.

Đối số tiêu chuẩn cho hằng số nhân $2$ : chúng ta cần không gian $f(n)$ để xây dựng một phép tính của một số máy Turing bằng một phép tính phổ quát. Ngoài ra, chúng ta cần $f(n)$ để giải quyết vấn đề tạm dừng.

Câu hỏi: Là thư viện điện tử ( $f(n)$ ) tương đương với thư viện điện tử ( $\frac{3}{2}f(n)$)?

Có thể chứng minh rằng DSPACE $(f(\frac 32 n))\ne$ thư viện điện tử$(f(n))$nếu$f$tăng trưởng ít nhất tuyến tính bằng cách sử dụng một biến thể đơn giản của đối số đệm tiêu chuẩn. Đối với ngôn ngữ$L$, hãy để$L'=\{x0^{|x|/2}\mid x\in L\}$.

Yêu cầu. $L\in$ thư viện điện tử $(f(n))$ nếu và chỉ nếu $L'\in$ thư viện điện tử $(f(\frac 23n))$nếu$f(n)\ge \frac 32n$.

(Câu trả lời đầu tiên của tôi có một số tuyên bố không chính xác, cảm ơn Emil vì đã phát hiện ra điều này.)

Trước tiên tôi sẽ chỉ cho bạn cách sử dụng yêu cầu để chứng minh thứ bậc. Vì $f$ phát triển ít nhất theo tuyến tính, chúng ta có DSPACE $(2f(n))\subset$ DSPACE $(f(2n))$ . Đi một ngôn ngữ $L\in$ thư viện điện tử $(f(2n))\setminus$ thư viện điện tử $(f(n))$ . Sử dụng khiếu nại, $L'\in$ thư viện điện tử $(f(\frac 43 n))=$ DSPACE$(f(n))$, trong đó đẳng thức cuối cùng là theo giả định gián tiếp. Nhưng sau đó$L\in$DSPACE$(f(\frac 32 n))=$ DSPACE$(f(n))$, trong đó đẳng thức cuối cùng một lần nữa bằng giả định gián tiếp, đưa ra mâu thuẫn.

Bằng chứng về yêu cầu bồi thường. Nếu $L'\in$ thư viện điện tử $(f(\frac 23 n))$, sau đó để chứng minh$L\in$DSPACE$(f(n))$, chúng ta chỉ cần viết$|x|/2$0 để kết thúc đầu vào$x$và mô phỏng máy tính mà được chấp nhận$L'$. Kể từ khi$f(n)\ge \frac 32 n$, điều này sẽ không làm tăng không gian chúng ta sử dụng. (Trên thực tế, việc biết có bao nhiêu chữ 0 để viết hoàn toàn không rõ ràng nếu$f$nhỏ và chúng ta không thể tăng kích thước bảng chữ cái - thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng một băng khác và viết lên rằng mọi thứ sẽ xuất hiện sau khi kết thúc$x$.)

Hướng khác chỉ đơn giản là bằng cách thay thế 0 bằng *, nếu chúng ta được phép viết * 's. (Xem các vấn đề với điều này trong nhận xét của tôi cho câu hỏi.) Nếu chúng tôi không được phép viết sao, thì chúng tôi sẽ sửa đổi một chút định nghĩa của $L'$ là $L'=\{x10^{|x|/2}\mid x\in L\}$ . Bây giờ, thay vì viết sao, chúng tôi giữ nguyên đầu vào $x10^{|x|/2}$và làm việc với điều đó. Nhưng bất cứ khi nào chúng tôi đạt được 1, chúng tôi sẽ đi đúng cho đến khi chúng tôi đạt 1 khác để kiểm tra xem đó có phải là kết thúc của từ 1 hay không. Nếu chúng tôi tìm thấy 1 người khác, chúng tôi sẽ quay lại 1. Nếu chúng tôi không, chúng tôi vẫn quay lại, nhưng chúng tôi sẽ biết rằng nó nên được coi là một ngôi sao - nếu chúng tôi viết lên đó, thì chúng tôi sẽ viết chúng tôi cũng viết một số 10 sau nó để có một điểm đánh dấu cuối từ mới. (Trên thực tế, cũng có một nhược điểm nhỏ trong phần này nếu $f$ nhỏ - làm thế nào chúng ta có thể kiểm tra xem đầu vào có dạng $x10^{|x|/2}$ không? Không phá hủy đầu vào, tôi chỉ có thể giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng nhiều đầu cho $f$ nhỏ .)