Mạch đa thức đảo ngược mạch iff đa thức đảo ngược?

Câu hỏi của tôi là về các chức năng tính toán hiệu quả tính toán. Không chính thức tôi quan tâm đến:

Nếu một mệnh đề có thể tính toán được trong thời gian đa thức, chúng ta có thể tính toán nó bằng một số đa thức của cổng phản ứng không?

Tôi đã kiểm tra danh sách các câu hỏi có liên quan và không phát hiện ra câu hỏi này. Cài đặt chính xác của tôi có thể hoặc không thể chính thống vì vậy tôi bao gồm các định nghĩa của mình. Tôi tin rằng câu hỏi là cấp độ nghiên cứu, nhưng tôi rất vui khi được chứng minh là sai.

Đặt . Chúng ta hãy định nghĩa một cổng là một phần tử của cho một số hữu hạn . Đối với hữu hạn xác định và xác định . Đối với hai cổng hãy viết cho hoán vị được xác định bởi cho , trong đó là ghép các từ. Đối với một bộ cổng viết$B = \{0,1\}$Một l t ( B n ) n N G N = ⋃ n ≤ N Một l t ( B n ) G ∞ = ⋃ n Một l t ( B n ) π 1 ∈ A l t ( B m ) , π 2 ∈ A l t ( B$\mathrm{Alt}(B^n)$$n$$N$$G_N = \bigcup_{n \leq N} \mathrm{Alt}(B^n)$$G_\infty = \bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi_1 \in \mathrm{Alt}(B^m), \pi_2 \in \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi = \pi_1 | \pi_2$$B^{m+n}$$\pi(u \cdot v) = \pi_1(u) \cdot \pi_2(v)$$u \in B^m, v \in B^n$$\cdot$$G$$\lceil G \rceil$ cho tập hợp con nhỏ nhất của chứa bản đồ nhận dạng và đóng dưới các thành phần chức năng được xác định rõ , và theo hoạt động.$\bigcup_n \mathrm{Alt}(B^n)$$(\pi_1, \pi_2) \mapsto \pi_1 \circ \pi_2$$|$

Người ta biết rằng $\lceil G_N \rceil = G_\infty$ cho tất cả , chúng ta hãy sửa chữa của cho concreteness. Cụ thể, điều này có nghĩa là mọi cho mọi đều có thể được viết là cho một số , trong đó mỗi tồn tại và sao cho cho tất cả .$N \geq 4$$N = 4$$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$n \geq N$$\pi = \phi_k \circ \cdots \circ \phi_2 \circ \phi_1$$k$$\phi_i$$\ell_i$$\pi_i \in \mathrm{Alt}(B^4)$$\phi_i(u \cdot v \cdot w) = u \cdot \pi_i(v) \cdot w$$|u| = \ell_i, |v| = 4$

Cho một hoán vị chẵn. Nếu , hãy xác định độ phức tạp cổng đảo ngược của nó là tối thiểu sao cho có thể được viết dưới dạng một bố cục như trên. Nếu , xác định độ phức tạp cổng của là . (Người ta có thể muốn cho phép chia cổng bằng hoán vị bởi . Điều này thay đổi độ phức tạp của cổng chỉ bằng một yếu tố tuyến tính, vì vậy với mục đích hiện tại, nó không thành vấn đề.)$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$n \geq 4$k π n < 4 π 1 u một b v ↦ u b một v$k$$\pi$$n < 4$$\pi$$1$$uabv \mapsto ubav$

Giả sử rằng cả và nghịch đảo của nó đều có thể tính toán một cách hiệu quả theo một nghĩa nào đó, ví dụ như thời gian đa thức, NC , logspace ... Là độ phức tạp cổng đảo ngược của sau đó nhất thiết phải là đa thức trong ?$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$d π n$^d$$\pi$$n$

Tôi quan tâm đến một câu trả lời hoặc tài liệu tham khảo.

Một số quan sát:

• Bằng chứng về định lý của Barrington cho thấy rằng đối với cố định , nếu có dạng đặc biệt cho một số chức năng , sao cho các hoán vị trong -fibers thậm chí cho mỗi , thì độ phức tạp cổng đảo ngược của là đa thức trong mỗi khi ở NC . Cụ thể, nếu có một mạch NC cho , thì có một mạch NC (lớn hơn bởi một hệ số không đổi) với$m \geq 3$$\pi$$\pi(u \cdot w) = \psi(u, w) \cdot w$$\psi : B^m \times B^n \to B^m$$w$$\{u \cdot w \;|\; u \in B^m\}$$w \in B^n$$\pi$$n$$\pi$1 1 ψ 1 2 m ! / 2$^1$$^1$$\psi$$^1$$2^m!/2$ nút đầu ra đặc biệt ghi lại liệu một hoán vị cụ thể đã được thực hiện trong tọa độ đầu tiên . Sau đó, chúng ta có thể chỉ ra (như trong chứng minh của định lý Barrington) rằng với mỗi nút trong mạng này, mọi hoán vị chẵn đều dựa trên bất kỳ giá trị nào của nút đó, có độ phức tạp mạch kích thước đa thức trong . Bây giờ kết hợp các nút tương ứng với các nút đặc biệt mới để có được độ phức tạp cổng đa thức cho .$m$$n$$\pi$

• Thủ thuật của Bennett cho thấy (trong số những thứ khác) rằng nếu và có độ phức tạp cổng (có thể tính toán được bởi một mạng tuần hoàn của cổng cổ điển hai đầu vào) , sau đó có hoán vị với đa thức độ phức tạp cổng đảo ngược trong sao cho cho tất cả . Cụ thể, hãy để tính toán các giá trị của mạng trong các bit cuối cùng , viết một số cách sắp xếp tôpô của mạng (giả sử chúng là ; nếu không thì chúng ta không quan tâm). Để$\pi \in \mathrm{Alt}(B^n)$$\pi^{-1}$$m$$m$$\pi' \in \mathrm{Alt}s(B^{n+m})$$n + m$$\pi'(u \cdot 0^{n+m}) = (\pi(u) \cdot 0^{n+m})$$u \in B^n$$f$$m$$0$$g$nlà bản đồ tính tổng các bit trả lời cho bit sau . Cho trao đổi từ thứ nhất và thứ hai có độ dài . Sau đó chứng minh cho yêu cầu.$n$$n$$u$$h$$n$$h \circ f^{-1} \circ g \circ f$

• Các mệnh đề một chiều trong mật mã là hoán vị của , có thuộc tính mà chúng có thể được tính trong thời gian đa thức, nhưng không thể đảo ngược trong thời gian đa thức. (Thuộc tính xác định của chúng mạnh hơn nhiều, nhưng tôi không nghĩ nó có liên quan ở đây.) Tôi không biết định nghĩa cụ thể này có liên quan gì đến vấn đề hiện tại không, vì chúng ta đang xử lý một mô hình tính toán không thống nhất .$B^n$

Đặt $f:2^{m}\rightarrow 2^{n}$ là hàm. Sau đó xác định một song ánh $L_{f}:2^{m}\times 2^{n}\rightarrow 2^{m}\times 2^{n}$ bằng cách cho phép $L_{f}(x,y)=(x,f(x)\oplus y)$ . Sau đó, nếu $L_{f}$ có độ phức tạp cổng đảo ngược $k$ , thì $f$ có thể được tính bằng $O(k)$ cổng Boolean có chiều rộng$m+n$ . Nói cách khác,$L_{f}$ có độ phức tạp cổng đảo ngược thấp chỉ khi$f$ được tính toán bằng một mạch có chiều rộng rất thấp.