P và độ phức tạp mô tả

Trong Sở thú phức tạp, nó nói [ 1 ] rằng, trong độ phức tạp mô tả, có thể được định nghĩa bằng ba loại công thức khác nhau, cũng là và cũng là . $P$ $FO(LFP)$ $FO(n^{O(1)})$ $SO(HORN)$

Tuy nhiên, có một số trường hợp ngoại lệ, ví dụ, không thể được biểu thị bằng FP (FP có cùng sức mạnh biểu cảm với LFP). và không thể xác định bằng logic thứ nhất. Một số vấn đề có thể thậm chí không được axiomatized với một số hữu hạn các biến như , , . $Evenness$ $Connectivity$ $2-colourability$ $Evenness$ $Perfect~Matching$ $Hamiltonicity$

Immerman đề xuất rằng Logic điểm cố định + Đếm (FPC) có thể là logic khả thi để bắt P.

Tuy nhiên, Cai Furer, Immerman đã chỉ ra rằng có các thuộc tính đồ thị thời gian đa thức không thể biểu thị trong FPC [ 2 ]. Vấn đề giải phương trình tuyến tính trên trường hai phần tử không thể xác định trong logic vô định với việc đếm [ 3 ]. Bạn có thể tham khảo [ 4 ] để biết thêm chi tiết.

Vì vậy, cấu trúc logic nào có thể nắm bắt P nói chung? Câu trả lời tích cực là một lớp các cấu trúc hữu hạn có trật tự có thể xác định theo logic điểm cố định ít nhất nếu và chỉ khi nó có thể quyết định trong P bởi Immerman [ 5 ] và Vardi [ 6 ]. Làm thế nào về trường hợp không có thứ tự? Bạn có thể hiển thị nhiều bản mẫu của tuyên bố trong sở thú phức tạp không?

lo.logic polynomial-time descriptive-complexity

— Rupi Xu
nguồn

Dưới đây là hướng dẫn giới thiệu tổng quan về kết quả của câu hỏi cụ thể này: cl.cam.ac.uk/~ad260/talks/wollic-tutorial.pdf

— Denis

@Denis Cảm ơn bạn, Denis! Hướng dẫn này chứa nhiều cấu trúc logic hơn cho P. Theo truyền thống khi chúng ta nói về một vấn đề là thời gian đa thức có thể giải quyết được, chúng tôi nghĩ rằng nó "dễ dàng". Tuy nhiên, các cấu trúc logic của P trông rất phức tạp và vẫn còn rất nhiều trường hợp chưa biết và các vấn đề mở.

— Rupei Xu

Đúng, có vẻ như tập hợp các vấn đề "dễ" (ví dụ P) không có cấu trúc tốt và khó mô tả bằng một số vấn đề như "những vấn đề dễ dàng là những vấn đề có thể có được từ các vấn đề cơ bản A, B, C, kết hợp theo cách X, Y ". Luôn có những vấn đề dễ dàng hơn thuộc loại khác và đòi hỏi các thuật toán đa thức thông minh với những ý tưởng mới trong đó.

— Denis

Martin Grohe đã đạt được tiến bộ đáng kể về câu hỏi này gần đây. Anh ta đưa ra logic nắm bắt thời gian đa thức trên các lớp đồ thị có thể nhúng trong một bề mặt cố định: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 Chỉnh sửa: trường hợp chung dường như chưa được giải quyết (nhưng tôi không có nghĩa là một chuyên gia về điều này).

— Hermann Gruber
nguồn

Đúng. Có rất nhiều kết quả siêu lý thuyết thuật toán (chẳng hạn như định lý nổi tiếng của Courcelle) có thể nắm bắt các trường hợp dễ dàng, liên kết sau đây là một bài khảo sát tốt. people.cs.umass.edu/~immerman/pub/... Tuy nhiên, những kết quả đó cũng có những hạn chế đối với các cấu trúc đồ thị trên đó các vấn đề chạy, chẳng hạn như cây, treewidth bị chặn, đồ thị phẳng, đồ thị nhỏ kín vv Có không có cấu trúc logic hoàn chỉnh nào có thể thu được P trong các biểu đồ chung mà không có thứ tự cho đến nay.

— Rupei Xu

Tôi đoán rằng công việc của Grohe khá đặc biệt bởi vì trong trường hợp đó, logic làm cạn kiệt tất cả P trên một lớp đồ thị lớn đáng kể, tức là không có phản ứng mẫu. Nếu tôi hiểu đúng, thì toàn diện là phần khó khăn. Các kết quả MSO mà bạn đề cập dường như không có tính năng này. Nhưng tôi chuyên môn của tôi về vấn đề này rất hạn chế, tôi có thể sai ở đây.

— Hermann Gruber