Ví dụ khó nhất cho vấn đề đẳng cấu nhóm là gì?

Hai nhóm $(G,\cdot)$ và $(H, \times)$ được cho là đẳng cấu khi và chỉ khi tồn tại một đồng cấu từ $G$ đến $H$ mà là song ánh. Vấn đề đẳng cấu nhóm như sau: đưa ra hai nhóm, kiểm tra xem chúng có phải là đẳng cấu hay không. Có nhiều cách khác nhau để nhập một nhóm, hai cách chủ yếu được sử dụng là bởi bảng Cayley và bởi một bộ tạo. Ở đây tôi giả sử các nhóm đầu vào được đưa ra bởi bảng Cayley của họ. Chính thức hơn:

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ Hai nhóm$(G,\cdot)$ và$(H,\times)$ .

$\textbf{Decide : }$ Là$G \cong H$ ?

Giả sử rằng $n = |G| = |H|$

Vấn đề đẳng cấu nhóm khi các nhóm đầu vào được đưa ra bởi bảng Cayley không được biết là nói chung trong $\textbf{P}$Mặc dù có các nhóm nhóm như lớp nhóm abelian mà vấn đề được biết đến là trong thời gian đa thức, các nhóm là phần mở rộng của một nhóm abelian, các nhóm đơn giản, vv Ngay cả đối với hai nhóm lớp nilpotent, không có thuật toán nào tốt hơn lực lượng vũ phu được biết đến.

Một thuật toán vũ phu cho đẳng cấu nhóm được đưa ra bởi Tarjan, như sau. Hãy $G$ và $H$ là hai nhóm đầu vào, và để cho $S$ là một bộ tạo của nhóm $G$ . Một thực tế nổi tiếng là mọi nhóm hữu hạn đều thừa nhận một tập hợp kích thước $\mathcal{O}(\log n)$ và có thể được tìm thấy trong thời gian đa thức. Số lượng hình ảnh của bộ tạo $S$ trong phép đồng hình từ $G$ đến $H$ là $n^{\log n}$ nhiều. Bây giờ, hãy kiểm tra xem mỗi phép đồng hình có thể là tính từ hay không. Thời gian chạy tổng thể sẽ là $n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$ .

Trước tiên hãy để tôi xác định trung tâm của nhóm $G$ :

$Z(G)$ biểu thị các phần tử của nhóm$G$ mà đi lại với tất cả các yếu tố khác của nhóm$G$ . Các nhóm mà$G/Z(G)$ (/ được sử dụng cho thương số) là abelian được gọi là nhóm hai nhóm nilpotent. Đối với tôi, có vẻ như hai nhóm nilpotent là những trường hợp khó nhất để giải quyết vấn đề đẳng cấu nhóm. Ý nghĩa của "các trường hợp khó nhất" là: giải quyết trường hợp đó sẽ cho phép các nhà nghiên cứu làm việc trong lý thuyết nhóm giải quyết vấn đề đẳng cấu của một số lượng lớn các nhóm.

Ban đầu, tôi nghĩ rằng các nhóm đơn giản là những trường hợp khó khăn nhất khi họ đang xây dựng các khối của tất cả các nhóm, nhưng sau đó đến để biết rằng vấn đề đẳng cấu với nhóm đơn giản là trong $\textbf{P}$ .

Câu hỏi : trường hợp khó nhất cho vấn đề đẳng cấu nhóm là gì?

$p$$p$$p > 2$$p=2$

0) Kinh nghiệm thực tế (xem các bài viết của Newman, Eick, O'Brien, Holt, Cannon, Wilson, ... đưa ra các thuật toán được triển khai trong GAP và MAGMA).

$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$$p$$p$$c < p$$p$$p$

$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$$p$$p$

$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$$p$$p$$\leq n$$p$$n \to \infty$

$p$$p$

$p$$p$$p$$p$$p$$c < p$