Một lớp ngôn ngữ đặc biệt: ngôn ngữ vòng tròn kiểu Nhật Bản. Được biết đến?

Xác định lớp ngôn ngữ "tròn" sau đây trên bảng chữ cái hữu hạn Sigma. Trên thực tế, cái tên đã tồn tại để biểu thị một điều khác có vẻ như, được sử dụng trong lĩnh vực điện toán DNA. AFAICT, đó là một loại ngôn ngữ khác nhau.

Một ngôn ngữ L là iff tròn cho tất cả các từ trong , chúng tôi có:$w$$\Sigma^*$

$w$ thuộc L khi và chỉ khi với tất cả các số nguyên , thuộc về L.$k > 0$$w^k$

Là lớp ngôn ngữ này được biết đến? Tôi quan tâm đến các ngôn ngữ tròn cũng thường xuyên và đặc biệt là:

• một tên cho họ, nếu họ đã biết

• tính quyết định của vấn đề, được đưa ra một máy tự động (cụ thể là: DFA), liệu ngôn ngữ được chấp nhận có tuân theo định nghĩa trên không

Trong phần đầu tiên, chúng tôi hiển thị một thuật toán theo cấp số nhân để quyết định tính tuần hoàn. Trong phần thứ hai, chúng tôi chỉ ra rằng vấn đề này là coNP-hard. Trong phần thứ ba, chúng tôi chỉ ra rằng mọi ngôn ngữ hình tròn là sự kết hợp của các ngôn ngữ có dạng (ở đây có thể là biểu thức chính quy trống); công đoàn không nhất thiết phải rời rạc. Trong phần thứ tư, chúng tôi trình bày một ngôn ngữ hình tròn không thể được viết dưới dạng tổng tách rời . r ∑ r + $r^+$$r$$\sum r_i^+$

Chỉnh sửa: Kết hợp một số chỉnh sửa theo nhận xét của Mark. Cụ thể, tuyên bố trước đây của tôi rằng tính tuần hoàn là coNP-Complete hoặc NP-hard được sửa chữa.

Chỉnh sửa: Đã sửa dạng bình thường từ thành . Trưng bày một ngôn ngữ "vốn mơ hồ". ∑ r + $\sum r_i^*$$\sum r_i^+$

Tiếp tục bình luận của Peter Taylor, đây là cách quyết định (cực kỳ kém hiệu quả) liệu một ngôn ngữ có được thông tư theo DFA hay không. Xây dựng một DFA mới có các trạng thái là -tuples của các trạng thái cũ. DFA mới này chạy song song bản sao của DFA cũ.$n$$n$

Nếu ngôn ngữ không phải là hình tròn thì sẽ có một từ mà nếu chúng ta chạy nó qua DFA nhiều lần, bắt đầu với trạng thái ban đầu là , thì chúng ta sẽ nhận được các trạng thái sao cho chấp nhận nhưng một trong những từ khác những cái đó không được chấp nhận (nếu tất cả chúng đều chấp nhận thì chuỗi phải quay vòng để luôn ở trong ngôn ngữ). Nói cách khác, chúng tôi có một đường dẫn từ đến trong đó đang chấp nhận nhưng một trong những người khác không chấp nhận. Ngược lại, nếu ngôn ngữ là hình tròn thì điều đó không thể xảy ra.s 0 s 1 , ... , s n s 1 s 0 , ... , s n w * s 0 , ... , s n - 1 s 1 , ... , s n s $w$$s_0$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$$s_0,\ldots,s_n$$w^*$$s_0,\ldots,s_{n-1}$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$

Vì vậy, chúng tôi đã giảm vấn đề xuống một thử nghiệm khả năng tiếp cận được định hướng đơn giản (chỉ cần kiểm tra tất cả các tuples "xấu" có thể ).$n$

Vấn đề về tính tuần hoàn là coNP-hard. Giả sử chúng ta đã đưa ra một ví dụ 3SAT với biến và mệnh đề . Chúng ta có thể giả sử rằng (thêm biến giả) và→ x m C 1 , Nhìn , C m n = m $n$$\vec{x}$$m$$C_1,\ldots,C_m$$n = m$$n$ là số nguyên tố (nếu không thì tìm một số nguyên tố giữa và 2 n bằng cách sử dụng kiểm tra nguyên hàm AKS, và thêm các biến và mệnh đề giả).$n$$2n$

Hãy xem xét ngôn ngữ sau: "đầu vào không có dạng trong đó → x i là một phép gán thỏa mãn cho C i ". Thật dễ dàng để xây dựng một DFA O ( n 2 ) cho ngôn ngữ này. Nếu ngôn ngữ không phải là hình tròn thì có một từ w trong ngôn ngữ, một số sức mạnh không có trong ngôn ngữ. Vì các từ duy nhất không có trong ngôn ngữ có độ dài n 2 , w phải có độ dài 1 hoặc n . Nếu nó có chiều dài$\vec{x}_1 \cdots \vec{x}_n$$\vec{x}_i$$C_i$$O(n^2)$$w$$n^2$$w$$1$$n$ , hãy xem xét w n thay thế (nó vẫn ở trong ngôn ngữ), do đó w nằm trong ngôn ngữ và w n không có trong ngôn ngữ. Thực tế là w n không có trong ngôn ngữ có nghĩa là w là một nhiệm vụ thỏa mãn.$1$$w^n$$w$$w^n$$w^n$$w$

Ngược lại, bất kỳ bài tập thỏa mãn nào cũng chuyển thành một từ chứng minh tính không tuần hoàn của ngôn ngữ: bài tập thỏa mãn thuộc về ngôn ngữ nhưng w n thì không. Do đó, ngôn ngữ là vòng tròn nếu trường hợp 3SAT không thỏa mãn.$w$$w^n$

Trong phần này, chúng tôi thảo luận về một hình thức bình thường cho các ngôn ngữ tròn. Xem xét một số DFA cho một ngôn ngữ hình tròn . Một chuỗi C = C 0 , ... là thực nếu C 0 = s (tình trạng ban đầu), tất cả các tiểu bang khác được chấp nhận, và C i = C j ngụ ý C i + 1 = C j + 1 . Do đó, mọi trình tự thực cuối cùng là định kỳ và chỉ có nhiều trình tự thực (vì DFA có nhiều trạng thái hữu hạn).$L$$C = C_0,\ldots$$C_0 = s$$C_i = C_j$$C_{i+1} = C_{j+1}$

Chúng tôi nói rằng một từ hoạt động theo $C$ nếu từ đó đưa DFA từ trạng thái sang trạng thái c i + 1 , cho tất cả i . Tập hợp tất cả các từ như vậy E ( C ) là thông thường (đối số tương tự như phần đầu tiên của câu trả lời này). Lưu ý rằng E ( C ) là một tập hợp con của L .$c_i$$c_{i+1}$$i$$E(C)$$E(C)$$L$

Cho một chuỗi , xác định C k là dãy C k ( t ) = C ( k t ) . Trình tự C k cũng có thật. Vì chỉ có nhiều trình tự C k khác nhau , nên ngôn ngữ D ( C ) là liên kết của tất cả E ( C k ) cũng đều đặn.$C$$C^k$$C^k(t) = C(kt)$$C^k$$C^k$$D(C)$$E(C^k)$

Chúng tôi cho rằng có thuộc tính là nếu x , y ∈ D ( C ) thì x y ∈ D ( C ) . Thật vậy, giả sử x ∈ C k và y ∈ C l . Khi đó x y ∈ C k + l . Do đó D ( C ) = D ( C ) + có thể được viết dưới dạng $D(C)$$x,y \in D(C)$$xy \in D(C)$$x \in C^k$$y \in C^l$$xy \in C^{k+l}$$D(C) = D(C)^+$ cho một số biểu thức chính quy r .$r^+$$r$

Mỗi từ trong ngôn ngữ tương ứng với một số chuỗi C thực , tức là tồn tại một chuỗi C thực sự mà w hành xử theo. Do đó L là liên kết của D ( C ) trên tất cả chuỗi C thực . Do đó, mọi ngôn ngữ hình tròn đều có biểu diễn dạng ∑ r + i . Ngược lại, mọi ngôn ngữ như vậy là thông tư (tầm thường).$w$$C$$C$$w$$L$$D(C)$$C$$\sum r_i^+$

Hãy xem xét các hình tròn ngôn ngữ của tất cả các từ trên một , b có chứa hoặc một số chẵn hoặc một 's hoặc một số chẵn các b ' s (hoặc cả hai). Chúng tôi thấy rằng nó không thể được viết dưới dạng một khoản tiền rời nhau Σ r + i ; bằng "disjoint", chúng tôi có nghĩa là r + i ∩ r + j = ∅ .$L$$a,b$$a$$b$$\sum r_i^+$$r_i^+ \cap r_j^+ = \varnothing$

$N_i$$r_i^+$ x = a N b N ! x ∈ L x ∈ r + i i x N r + i z = a N ! b N ! y = a N ! b N r + j z i ≠ j x y ∉ $N > \max N_i$$x = a^N b^{N!}$$x \in L$$x \in r_i^+$$i$$x$$N$$r_i^+$$z = a^{N!} b^{N!}$$y = a^{N!} b^N$$r_j^+$$z$$i \neq j$$xy \notin L$ . Do đó, đại diện không thể rời rạc.

Dưới đây là một số bài viết thảo luận về các ngôn ngữ này:

Thierry Cachat, Sức mạnh của các ngôn ngữ hợp lý một chữ cái, DLT 2001, Springer LNCS # 2295 (2002), 145-154.

S. Hovath, P. Leupold, và G. Lischke, Nguồn gốc và sức mạnh của ngôn ngữ thông thường, DLT 2002, Springer LNCS # 2450 (2003), 220-230.

H. Bordihn, Bối cảnh không rõ ràng về sức mạnh của ngôn ngữ không ngữ cảnh là không thể giải quyết được, TCS 314 (2004), 445-449.

@Dave Clarke, L = a * | b * sẽ là hình tròn, nhưng L * sẽ là (a | b) *.

Về khả năng quyết định, một ngôn ngữ là hình tròn nếu có L ′ sao cho L là phần đóng dưới + của L ′ hoặc nếu đó là một liên kết hữu hạn của các ngôn ngữ tròn.$L$$L'$$L$$L'$

(Tôi sắp chết để xác định lại "tròn" thay thế của bạn với ≥ . Nó đơn giản hoá mọi thứ rất nhiều. Sau đó chúng tôi có thể đặc trưng cho ngôn ngữ hình tròn như những người mà tồn tại một NDFA mà bắt đầu nhà nước chỉ có epsilon-chuyển tiếp để chấp nhận các quốc gia và có một chuyển tiếp epsilon đến từng trạng thái chấp nhận).$>$$\ge$

Chỉnh sửa: Một bằng chứng đầy đủ (đơn giản hóa) PSPACE xuất hiện bên dưới.

Hai bản cập nhật. Thứ nhất, hình thức bình thường được mô tả trong câu trả lời khác của tôi xuất hiện đã có trong một bài báo bằng Calbrix và Nivat mang tên tiền tố và các ngôn ngữ thời gian hợp lý -langauges$\omega$ , tiếc là không có sẵn trực tuyến.

Thứ hai, quyết định xem một ngôn ngữ có hình tròn được đưa ra DFA của nó có hoàn chỉnh PSPACE không.

Thông tư trong PSPACE. Do định lý NPSPACE = PSPACE theo định lý của Savitch, nên việc đưa ra thuật toán NPSPACE cho tính không tuần hoàn là đủ. Hãy là một DFA với | Q | = n trạng thái. Thực tế là đơn điệu cú pháp của L ( A ) có kích thước tối đa n n ngụ ý rằng nếu L ( A ) không có hình tròn thì có một từ w có độ dài tối đa n $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$|Q|=n$$L(A)$$n^n$$L(A)$$w$$n^n$như vậy nhưng w k ∉ L ( A ) đối với một số k ≤ n . Thuật toán đoán w và tính δ w ( q ) = δ ( q , w ) cho tất cả q ∈ Q , sử dụng không gian O ( n log n ) (được sử dụng để đếm đến n n ). Sau đó xác nhận rằng δ w$w \in L(A)$$w^k \notin L(A)$$k \leq n$$w$$\delta_w(q) = \delta(q,w)$$q \in Q$$O(n\log n)$$n^n$ nhưng δ ( k ) w ∉ F với một số k ≤ n .$\delta_w(q_0) \in F$$\delta_w^{(k)} \notin F$$k \leq n$

Thông tư là PSPACE-hard. Kozen đã trình bày trong bài báo kinh điển năm 1977 về giới hạn thấp hơn cho các hệ thống bằng chứng tự nhiên rằng khó có thể quyết định PSPACE, đưa ra một danh sách các DFA, cho dù giao điểm của các ngôn ngữ được chúng chấp nhận có trống không. Chúng tôi giảm vấn đề này thành thông tư. Với nhị phân DFAs , chúng ta thấy một số nguyên tố p ∈ [ n , 2 n ] và xây dựng một ternary DFA Một chấp nhận ngôn ngữ L ( A ) = ¯ { 2 w 1 2 w $A_1,\ldots,A_n$$p \in [n,2n]$$A$ (Với một số nỗ lực nhiều hơn, chúng ta có thể làm chomộtnhị phân là tốt.) Nó không phải là khó khăn để xem (sử dụng thực tế làplà số nguyên tố) màL(A)là hình tròn khi và chỉ khi ngãL(A1)∩⋯∩L(An)là rỗng.

$s \in L$$p>0$$xy^{i}z$$x = z = \epsilon$$y = w \neq \epsilon$$|xy| \leq p$$|y| = |w| > 0$

$w= \epsilon$

Sự kết hợp của các ngôn ngữ trên là ngôn ngữ L và vì các ngôn ngữ thông thường được đóng lại dưới sự kết hợp, nên theo sau mọi ngôn ngữ đều là ngôn ngữ chính quy.

$CIRCULARITY/TM$