Một cách hiệu quả có thể lấy mẫu một lân cận của một đỉnh trong đồ thị của một đa giác?

Tôi có một đa giác $P$ được xác định bởi $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$ .

Câu hỏi: Cho một đỉnh $v$ của $P$ , có thuật toán thời gian đa thức để lấy mẫu đồng nhất từ ​​các lân cận của $v$ trong đồ thị của $P$ không? (Đa thức về thứ nguyên, số phương trình và biểu diễn của $b$ . Tôi có thể giả sử rằng số phương trình là đa thức trong thứ nguyên.)

Cập nhật: Tôi nghĩ rằng tôi đã có thể chỉ ra rằng đây là NP-hard, hãy xem câu trả lời của tôi giải thích lập luận. (Và bởi $NP$ -hard, ý tôi là thuật toán thời gian đa thức sẽ chứng minh $RP = NP$ ... không chắc thuật ngữ chính xác ở đây là gì.)

Cập nhật 2: Có một bằng chứng 2 dòng về $NP$ -hardness (được cung cấp đa giác kết hợp đúng) và tôi đã có thể tìm thấy nó một bài viết của Khachiyan. Xem câu trả lời cho mô tả và liên kết. : -D

Một vấn đề tương đương :

Trong các bình luận, Peter Shor đã chỉ ra rằng câu hỏi này tương đương với câu hỏi liệu chúng ta có thể lấy mẫu đồng nhất từ ​​các đỉnh của một đa giác đã cho hay không. (Tôi nghĩ rằng sự tương đương đi như thế này: Trong một hướng, chúng ta có thể đi từ một polytope $P$ với một đỉnh $v$ với con số đỉnh tại $v$ , $P/v$ , và lấy mẫu các đỉnh của $P/v$ tương đương với lấy mẫu những người hàng xóm của $v$ trên $P$ Theo hướng khác, chúng ta có thể đi từ đa giác $P$ sang đa giác $Q$ có chiều cao hơn bằng cách thêm hình nón với đỉnh $v$ và cơ sở $P$. Sau đó lấy mẫu các lân cận của $v$ trong $Q$ tương đương với lấy mẫu các đỉnh của $P$ )

Công thức này của câu hỏi đã được hỏi trước đây: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

$NP$

Đầu tiên, nhớ lại đa giác lưu thông của đồ thị ở cuối trang 4 của Tạo tất cả các đỉnh của khối đa diện là khó .

Các đỉnh của nó nằm trong sự tương ứng sinh học với các chu kỳ đơn giản được định hướng. Do đó, chúng khó lấy mẫu hoặc đếm theo Đề xuất JVV 5.1 . : -D

Được trang bị những từ khóa này, tôi đã có thể tìm thấy độ cứng của kết quả lấy mẫu như định lý 1 của Siêu dữ liệu chuyển đổi và Gia đình của Đa giác Cones của Khachiyan.

Chỉnh sửa: Tôi đã viết lên các đối số dưới đây, và nó xuất hiện chính xác. Tuy nhiên, có một đối số đơn giản hơn nhiều, mà tôi sẽ phác thảo ở đây:

a) Bằng cách phân tích các thuật toán quay lui để liệt kê tất cả các đỉnh và tất cả các mặt của khối đa diện lồi (Fukuda et al.), NP-hard rất khó giải quyết vấn đề sau trên các đa giác:

$Ax = b , x \geq 0$$\mathbb{R}^n$$S \subseteq n$

$v$$P$$S$

$y_{ik}$$i \in S$$k = 1, \ldots, d$$0 \leq y_{ik} \leq x_i$$P_{S,d}$$d |supp(x) \cap S|$

$2^{d | supp(x) \cap S|}$$supp$

$d$$P_{S,d}$$S$

Dường như có nhiều phần mở rộng này. Tôi sẽ cập nhật với một liên kết khi viết xong.

(Đối số cũ từng có ở đây - đó là trong lịch sử chỉnh sửa. Tôi đã xóa nó vì nó rất dài và sẽ cản trở việc tìm câu trả lời chính xác cho câu hỏi.)