Số phân vùng giao thức và độ phức tạp truyền thông xác định

Bên cạnh độ phức tạp truyền thông (xác định) của mối quan hệ R , một biện pháp cơ bản khác cho lượng giao tiếp cần thiết là số phân vùng giao thức p p ( R ) . Mối quan hệ giữa hai biện pháp này được biết đến với một yếu tố không đổi. Chuyên khảo của Kushilevitz và Nisan (1997) đưa ra$cc(R)$$R$ $pp(R)$

Về bất đẳng thức thứ hai, có thể dễ dàng đưa ra (một họ vô hạn) quan hệ với log 2 ( p p ( R ) ) = c c ( R ) .$R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

Về bất đẳng thức đầu tiên, Doerr (1999) đã chỉ ra rằng chúng ta có thể thay thế nhân tố trong giới hạn đầu tiên bằng c = 2,223 . Bao nhiêu thì giới hạn đầu tiên có thể được cải thiện, nếu có? $c=3$$c=2.223$

Động lực bổ sung từ độ phức tạp mô tả: Cải thiện hằng số sẽ dẫn đến cải thiện giới hạn dưới của kích thước tối thiểu của biểu thức chính quy tương đương với một DFA đã cho mô tả một số ngôn ngữ hữu hạn, xem Gruber và Johannsen (2008). $2.223$

Mặc dù không liên quan trực tiếp đến câu hỏi này, Kushilevitz, Linial và Ostrovsky (1999) đã đưa ra quan hệ với c c ( R ) / ( 2 - o ( 1 ) ) ≥ log 2 ( r p ( R ) ) , nơi r p ( R ) là số phân vùng hình chữ nhật .$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

EDIT: Lưu ý rằng câu hỏi trên tương đương với câu hỏi sau về độ phức tạp của mạch Boolean: Hằng số tối ưu sao cho mọi công thức DeMorgan boolean của leafsize L có thể được chuyển đổi thành một công thức có độ sâu tương đương ở hầu hết c log 2 L ?$c$$c \log_2L$

Tài liệu tham khảo :

• Kushilevitz, Mắt; Nisan, Noam: Sự phức tạp trong giao tiếp. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 1997.
• Kushilevitz, Mắt; Linial, Nathan; Ostrovsky, Rafail: Giả thuyết mảng tuyến tính trong độ phức tạp trong giao tiếp là sai, Combinatorica 19 (2): 241-254, 1999.
• Doerr, Benjamin: Độ phức tạp trong giao tiếp và Số phân vùng giao thức, Báo cáo kỹ thuật 99-28, Berichtsreihe des Mathematischen Seminars der Universität Kiel, 1999.
• Gruber, Hermann; Johannsen, Jan: Giới hạn dưới tối ưu trên Kích thước biểu thức chính quy sử dụng độ phức tạp trong giao tiếp. Trong: Cơ sở của cấu trúc khoa học và tính toán phần mềm 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286. Mùa xuân.

Ok, vậy hãy để tôi cố gắng chứng minh rằng hai là đủ, đó là . Xin lỗi nhưng đôi khi tôi viết lá thay vì số lá / pp (R), bất cứ khi nào số nhỏ hơn 1, tôi rõ ràng có ý này. Ngoài ra, tôi thường ghi <thay vì ≤ để tăng cường phi tex dễ đọc.$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

Gián tiếp giả sử rằng có một R mà điều này không đúng và chúng ta hãy lấy R với pp (R) nhỏ nhất có thể vi phạm bất đẳng thức. Về cơ bản chúng ta phải chỉ ra rằng bằng cách sử dụng hai bit, chúng ta có thể giảm một nửa số lượng lá trong cả bốn kết quả của cây giao thức, sau đó chúng ta đã hoàn thành việc sử dụng cảm ứng.

Biểu thị tập hợp đầu vào có thể có của Alice theo X và của Bob bởi Y. Lấy trung tâm của cây giao thức đạt được các lá pp (R), tức là nút xóa mà cây rơi vào ba phần, mỗi phần có tối đa 1/2 của các lá pp (R) và biểu thị các đầu vào tương ứng bằng X0 và ​​Y0. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể cho rằng Alice nói ở trung tâm và cô ấy cho biết liệu đầu vào của cô ấy thuộc về XL hay XR, người có liên minh rời rạc là X0. Biểu thị tỷ lệ của các lá với pp (R) trong XL Y0 theo L, trong XR × Y0 cho R và phần còn lại bằng D. Bây giờ chúng ta chia phần còn lại thành ba phần nữa, tương tự như Doerr, biểu thị các lá có hình chữ nhật cắt Y0 × X với A, có hình chữ nhật cắt X0 × Y với B và phần còn lại bằng C. Lưu ý rằng A + B + C = D.$\times$$\times$$\times$$\times$

Bây giờ chúng ta biết rằng L + R> 1/2, L, R <1/2 và không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng L nhiều nhất là R. Chúng ta cũng biết D = A + B + C <1/2. Theo sau 2L + A + B <1, từ đó chúng ta biết rằng L + A <1/2 hoặc L + B <1/2, đây sẽ là hai trường hợp của chúng ta.

Trường hợp L + A <1/2: Đầu tiên Bob cho biết liệu đầu vào của anh ta có thuộc về Y0 hay không. Nếu không, chúng ta có tối đa D <1/2 lá còn lại. Nếu vậy, Alice sẽ cho biết liệu đầu vào của cô có thuộc về XR hay không. Nếu không, chúng ta có nhiều nhất L + A <1/2 lá. Nếu vậy, chúng ta có R <1/2 lá còn lại.

Trường hợp L + B <1/2: Đầu tiên Alice cho biết liệu đầu vào của cô có thuộc về XR hay không. Nếu đúng như vậy, thì Bob cho biết anh ta có thuộc về Y0 hay không, tùy thuộc vào điều này, chúng ta còn lại lá R hoặc B. Nếu đầu vào của Alice không ở XR, thì Alice cho biết liệu đầu vào của cô ấy có ở XL hay không. Nếu có thì ta còn lại L + B <1/2 lá. Nếu không, chúng ta có tối đa D <1/2 lá còn lại.

Trong mọi trường hợp, chúng tôi đã hoàn thành. Cho tôi biết bạn nghĩ gì.

$c\le 2$$c \le 1.73$

Tài liệu tham khảo

Stasys Jukna. Độ phức tạp của hàm Boolean: Những tiến bộ và biên giới. Mùa xuân năm 2012.

VM Khrapunn. Về mối quan hệ giữa độ phức tạp và độ sâu. Metody Diskretnogo Analiza trong Synthezis của Hệ thống điều khiển 32: 76 Tắt94, 1978.