Có phải vấn đề bitcoin phân biệt đối xử ít nhất là hoàn toàn không?

Đó là một cái tên tôi đã tạo nên cho vấn đề này. Tôi chưa thấy nó được mô tả ở bất cứ đâu trước đây. Tôi chưa thể tìm thấy bằng chứng về tính đầy đủ của NP cũng như thuật toán thời gian đa thức cho vấn đề này. Nó không phải là một vấn đề bài tập về nhà - nó có liên quan đến một vấn đề tôi gặp phải trong công việc của tôi.

BITS KHÁM PHÁ TUYỆT VỜI

NGAY LẬP TỨC: Một tập hợp T chứa các vectơ bit, trong đó mỗi vectơ bit dài chính xác là N bit. Mọi yếu tố của T là duy nhất, như người ta mong đợi từ một tập hợp trong toán học. Một số nguyên K <N.

CÂU HỎI: Có tập hợp B có nhiều nhất vị trí bit K (tức là số nguyên trong phạm vi [0, N-1]) sao cho khi chúng ta loại bỏ tất cả các bit ngoại trừ các bit trong mọi vectơ trong T, các vectơ ngắn còn lại đều là vẫn độc đáo?

Ví dụ 1: Ví dụ N = 5, T = {00010, 11010, 01101, 00011}, K = 2, câu trả lời là có, bởi vì chúng ta có thể chọn vị trí bit B = {0,3}. Sử dụng quy ước rằng vị trí bit 0 là ngoài cùng bên phải và số vị trí bit tăng từ phải sang trái, loại bỏ tất cả các vị trí bit ngoại trừ các vị trí trong B khỏi các vectơ trong T để lại T '= {00, 10, 11, 01}, và đó là tất cả duy nhất.

Ví dụ 2: N = 5, T = {00000, 00001, 00010, 00100}, K = 2. Câu trả lời là không, bởi vì dù chúng ta chọn hai vị trí bit nào, không có vectơ 2 bit nào sẽ bằng 11, do đó, ít nhất hai vectơ 2 bit sẽ bằng nhau.

Tất nhiên chúng ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách liệt kê tất cả các tập con (N chọn K) với kích thước K của các vị trí bit N và xác định xem điều kiện nào thỏa mãn điều kiện của câu hỏi. Tuy nhiên, đó là số mũ trong kích thước đầu vào.

Vấn đề này là NP-đầy đủ. Một bằng chứng dựa trên việc giảm từ 3-SAT như sau:

$n$$m$$2n + 2m$$2n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$ iff bản gốc 3-SAT là thỏa đáng.

$2n$$\left\{ x_1, \neg x_1, x_2, \neg x_2, ..., x_n, \neg x_n \right\}$. With respect to these bits, the first $2m$ rows will come in pairs, the first of which will have a $1$ for each literal included in the corresponding clause, and the second of which will consist entirely of $0$'s. The remaining $2n$$1$'s for the corresponding literal and its negation, and the second of which will consist entirely of $0$'s. Finally, the last $\lceil \log_2(n + m) \rceil$ bits will be used to "sign" each pair of rows with its index, from $0$ to $n+m-1$, written in binary.

In order to distinguish each "literal" row from its successor, either the bit corresponding to that literal or the bit corresponding to its negation must be retained. Also, in order to discriminate among the $n+m$ "zero + index" rows, all $\lceil \log_2(n + m) \rceil$ index bits must be retained. The minimum possible number of discriminating bits is therefore $n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$. Finally, in order to distinguish each "clause" row from its successor, at least one of the three bits corresponding to literals included in that clause must be retained. If the 3-SAT instance is satisfiable, this last condition will not require any extra bits (in particular, we do not need to retain the bits corresponding to both $x_i$ and $\neg x_i$ for any $i$); and conversely, if there are $n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$ bits that discriminate among all $2n+2m$ bit vectors, they must contain exactly one of $x_i$ and $\neg x_i$ for each $i$, and hence correspond to a satisfying assignment of truth values to the $n$ variables.

Although a proof of NP-completeness is already provided, it might be worth pointing out that this problem is equivalent to a known NP-complete problem called the minimum test set problem ([SP6] in Garey and Johnson, also called the minimum test collection problem): just exchange the role of the sets and the role of the positions.