Khi nào không gian kết hợp có pullback và đẩy?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

Mối quan hệ kết hợp $\symp_X$ trên tập $X$ là mối quan hệ phản xạ và đối xứng. Một không gian kết hợp là một cặp $(X, \symp_X)$ và một hình thái $f : X \to Y$ giữa các không gian kết hợp là một mối quan hệ $f \subseteq X \times Y$ sao cho tất cả $(x,y) \in f$ và $(x',y') \in f$ ,

nếu $x \symp_X x'$ thì $y \symp_Y y'$ và
nếu $x \symp_X x'$ và $y = y'$ thì $x = x'$ .

Các thể loại của không gian kết hợp là cả Cartesian và đơn hình đóng. Tôi muốn biết khi nào pullback hoặc Pushout tồn tại cho thể loại này và khi một số tương tự đơn lẻ của pullback hoặc đẩy ra tồn tại (và làm thế nào để xác định nó, trong trường hợp khái niệm này có ý nghĩa).

— Neel Krishnaswami
nguồn

Định nghĩa này từ đâu? Người trong Girard, Lafont & Taylor trông rất khác biệt.

— Charles Stewart

Hai định nghĩa là tương đương. Tôi chỉ lấy web là nguyên thủy, từ đó có thể bắt nguồn từ tập hợp các cụm.

— Neel Krishnaswami

Tôi thấy sự lựa chọn định nghĩa của Neel dễ hiểu hơn nhiều so với bản gốc.

— Dave Clarke

Tôi sẽ nêu câu hỏi rõ ràng: bạn có biết rằng chúng không luôn tồn tại? Nói cách khác, bạn có quen thuộc với bất kỳ ví dụ nào của functor trong các mối quan hệ gắn kết không có giới hạn / colimit không?

— Ohad Kammar

Hai định nghĩa là tương đương - Phải, nhưng bạn đã tạo ra định nghĩa này, hoặc bạn đã nhận được nó từ người khác? Câu hỏi tuyệt vời, btw, tôi ngạc nhiên rằng dường như không ai biết liệu bộ cân bằng luôn tồn tại.

— Charles Stewart

~~Bây giờ tôi thấy làm thế nào để xác định bộ cân bằng cho không gian kết hợp, có nghĩa là pullback luôn tồn tại (vì các sản phẩm làm).~~ Tôi không biết làm thế nào để làm điều này, thực sự ....

Hãy nhớ lại rằng thành phần là thành phần quan hệ thông thường, vì vậy nếu và , thì: $f : A \to B$ $g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(Trong định nghĩa này, thực thể tồn tại ngụ ý tồn tại duy nhất . Giả sử rằng chúng ta có sao cho và . Vì chúng ta biết rằng , điều này có nghĩa là . Sau đó, điều này có nghĩa là chúng ta có và và , do đó .) $b' \in B$ $(a,b') \in f$ $(b', c) \in g$ $a \Bumpeq_A a$ $b \Bumpeq_B b'$ $b \Bumpeq_B b'$ $(b,c) \in g$ $(b',c) \in g$ $b = b'$

Bây giờ chúng ta xây dựng bộ cân bằng. Giả sử chúng ta có các khoảng trống gắn kết và , và morphisms . Bây giờ hãy xác định bộ cân bằng như sau. $A$ $B$ $f, g : A \to B$ $(E, e : E \to A)$

Đối với web, lấy Điều này chọn ra tập hợp các mã thông báo của mà và đồng ý (theo cách kết hợp - Tôi đã sai trong phiên bản đầu tiên của mình ) hoặc cả hai đều không xác định.
$E = {\begin{array}{lc} \forall b . (a, b) \in f ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in g \\ a \in A & \land \\ \forall b . (a, b) \in g ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in f \end{array}}$ $E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$ $A$ $f$ $g$
Xác định mối quan hệ kết hợp trên . Đây chỉ là những hạn chế của mối quan hệ gắn kết trên vào subset . Đây sẽ là phản xạ và đối xứng vì là. $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$ $A$ $E$ $\Bumpeq_A$
Bản đồ cân bằng chỉ là đường chéo . $e$ $e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

Vì tôi đã làm hỏng phiên bản đầu tiên của bằng chứng, tôi sẽ cung cấp cho tài sản phổ quát một cách rõ ràng. Giả sử chúng ta có bất kỳ đối tượng và hình thái khác sao cho . $X$ $m : X \to A$ $m;f = m;g$

Bây giờ xác định là . Rõ ràng , nhưng để thể hiện sự bình đẳng, chúng ta cần hiển thị converse . $h : X \to E$ $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$ $h;i \subseteq m$ $m \subseteq h;i$

Vậy giả sử . Bây giờ chúng ta cần chỉ ra rằng và . $(x,a) \in m$ $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$ $\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

Đầu tiên, giả sử và . Vì vậy, chúng ta biết rằng và , vì vậy . Do đó và do đó có sao cho và . Vì , chúng ta biết , và do đó có sao cho . $b \in B$ $(a,b) \in f$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in f$ $(x,b) \in m;f$ $(x,b) \in m;g$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in g$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in g$

Đối xứng, giả sử và . Vì vậy, chúng ta biết rằng và , vì vậy . Do đó và do đó có sao cho và . Vì , chúng ta biết , và do đó có sao cho . $b \in B$ $(a,b) \in g$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in g$ $(x,b) \in m;g$ $(x,b) \in m;f$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in f$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in f$

— Neel Krishnaswami
nguồn

Tôi không thấy làm thế nào bạn có thể chứng minh phổ quát. Chỉ có một cách để tính bất kỳ , và đó là bằng cách đặt là . Rõ ràng là , nhưng tôi không hiểu tại sao converse giữ: lấy một số và một số , với . Khi đó ta có , do đó từ lựa chọn của , ta có . Từ định nghĩa thành phần, tồn tại một số sao cho và . Chúng ta có thể suy luận rằng

e

$e$

m : X \to A

$m : X \rightarrow A$

h : X \to E

$h : X \rightarrow E$

h := {(x, a) : (x, a) \in m, a \in E}

$h := \{(x, a) : (x,a) \in m, a \in E\}$

h; e \subset m

$h;e \subset m$

x m a

$xma$

b \in B

$b \in B$

a f b

$afb$

x (m; f) b

$x(m;f)b$

m

$m$

x (m; g) b

$x(m;g)b$

a^{'}

$a'$

x m a^{'}

$xma'$

a^{'} g b

$a'gb$

a \symp a^{'}

$a \symp a'$ , nhưng chúng tôi chỉ biết rằng và , vì vậy chúng tôi thực sự không thể suy ra rằng và kết thúc.

a f b

$afb$

a^{'} g b

$a'gb$

a = a^{'}

$a=a'$

— Ohad Kammar

Vâng, bạn đã đúng - tập hợp con của bộ cân bằng chọn phải có sự gắn kết, không phải là sự bình đẳng. Tôi đã thay đổi định nghĩa để phản ánh điều này và đưa ra bằng chứng sơ đồ bắt đầu rõ ràng.

— Neel Krishnaswami

À ... Nhưng bây giờ không cân bằng sơ đồ. Thật vậy, giả sử . Sau đó, theo định nghĩa của , chúng ta có , do đó tồn tại một số sao cho . Nhưng chúng ta không có điều đó , vì vậy chúng ta không thể chỉ ra rằng . Bạn dường như đang gặp phải những vấn đề tương tự tôi gặp phải tối qua, do đó câu hỏi rõ ràng của tôi ở trên. Nhưng có lẽ bạn sẽ thành công khi tôi thất bại! Bước tiếp theo của tôi là lấy một tinh vi hơn , nói một cái gì đó như , nhưng sau đó không phải là một hình thái hợp lệ, vì vậy cần có sự lựa chọn cẩn thận hơn.

e

$e$

a (e; f) b

$a(e;f)b$

e

$e$

a f b

$afb$

a^{'} \symp a

$a'\symp a$

a^{'} g b

$a'gb$

a e a^{'}

$aea'$

a (e; g) b

$a(e;g)b$

e

$e$

a e a^{'} ⟺ a \symp a^{'}

$aea' \iff a\symp a'$

e

$e$

— Ohad Kammar

Bây giờ tôi nhớ tại sao tôi đã hy vọng câu trả lời đã có trong luận án của ai đó. :) Dù sao đi nữa, tôi sẽ nghĩ về nó nhiều hơn - có thể có một số mẹo có thể thông qua thực tế là hình ảnh nghịch đảo được ghép đôi.

— Neel Krishnaswami