Các ứng dụng của hình học đại số trong lý thuyết loại / lý thuyết ngôn ngữ lập trình

Gần đây, tôi đã trở nên quan tâm đến hình học đại số và đã bắt đầu đọc về nó. Tôi vẫn biết rất ít về lĩnh vực này, nhưng tôi muốn biết liệu nó có liên quan gì đến lĩnh vực chính của tôi, loại lý thuyết và ngôn ngữ lập trình hay không.

Tôi biết rằng cấu trúc liên kết đại số có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết loại (lý thuyết kiểu đồng luân, và nhiều hơn nữa), nhưng về hình học đại số, bên cạnh đó cả lý thuyết loại / lý thuyết PL và AG là những động lực tốt của lý thuyết thể loại?

Theo hiểu biết của tôi (chắc chắn là không đầy đủ), có rất ít công việc về điều này, có lẽ bởi vì nó đòi hỏi phải đồng hóa hai cơ thể kiến ​​thức tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ít không có nghĩa là không tồn tại. Thierry Coquand và các cộng tác viên của ông đã viết khá nhiều bài báo về mối liên hệ giữa đại số giao hoán và logic xây dựng.

• Thierry Coquand, Henri Lombardi. Một cách tiếp cận hợp lý cho đại số trừu tượng .

  Bài viết này đã gây ấn tượng rất lớn đối với tôi khi còn là học sinh tốt nghiệp - cách tự tin và tự do mà nó sử dụng các ý tưởng từ lý thuyết chứng minh và lý thuyết mô hình để thực hiện toán học đúng đắn, đúng đắn là điều tôi rất ngưỡng mộ, và tôi vẫn khao khát.

• Henri Lombardi và Claude Quitté có một cuốn sách giáo khoa (có sẵn miễn phí), đại số giao hoán: Phương pháp xây dựng .

  Như tiêu đề cho thấy, đây là đại số giao hoán chứ không phải hình học đại số, nhưng vì đại số giao hoán cung cấp nhiều cơ sở hạ tầng cho hình học đại số nên điều này vẫn sẽ được quan tâm.

Ngoài ra còn có một số luận án tiến sĩ rất thú vị trong khu vực:

• Luận án tiến sĩ của Andres Mörtberg Chính thức hóa các sàng lọc và đại số xây dựng trong lý thuyết loại

  Khi bạn có một bằng chứng mang tính xây dựng, bạn đã có một thuật toán. Luận án này xem xét làm cho các thuật toán hiệu quả.

• Luận án tiến sĩ của Bassel Mannaa, ngữ nghĩa học về điếc trong đại số xây dựng và lý thuyết loại

  Trong luận án này, ông đã chứng minh tính đúng đắn của định lý Newton-Puiseux một cách xây dựng, cũng như sự độc lập của nguyên tắc Markov. Nó cung cấp một ví dụ hay về cách các phương thức ngữ nghĩa có các ứng dụng trong cả hình học và logic.

• Luận án tiến sĩ của Ingo Blechschmidt, Sử dụng ngôn ngữ nội bộ của các đỉnh trong hình học đại số,

  Luận án này xem xét làm lại nhiều bằng chứng thông thường về hình học đại số bằng ngôn ngữ bên trong của các đỉnh Zariski nhỏ liên quan đến sơ đồ, mang lại một loại "hình học đại số tổng hợp". (Anh ấy cũng thực hiện "lý thuyết sơ đồ tổng hợp" bằng cách sử dụng các đỉnh Zariski lớn). Như bạn mong đợi, vì topoi thường không phải là Boolean, nên các bằng chứng phải được thực hiện theo phong cách trực giác.

Cũng đáng để chỉ ra các tài liệu tham khảo sau:

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk. Sheaves in Geometry and Logic Sheaves in Geometry and Logic: Giới thiệu đầu tiên về lý thuyết topos .

  Rất nhiều công nghệ được sử dụng trong công việc này xuất hiện thông qua các kết nối giữa lý thuyết, logic và hình học topos. Đây là tài liệu tham khảo tiêu chuẩn, mặc dù tôi chủ yếu học nó qua các bài báo của Steve Vickers.

Đây có thể không chính xác là những gì bạn đang tìm kiếm, nhưng một ứng dụng của hình học đại số trong các ngôn ngữ lập trình là phân tích các vòng lặp tuyến tính:

Một vòng lặp tuyến tính là một chương trình rất đơn giản có dạng:

$x=s$

$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

Bạn có thể xem bài báo về sự phức tạp của vấn đề quỹ đạo là một điểm khởi đầu tốt.