Cách tốt nhất để kiểm tra nếu một hình cầu là một đa giác? (Vấn đề Steinitz đơn giản)

Đây là một bài đăng chéo từ MathOverflow.

Vấn đề kiểm tra xem một mạng mặt đơn giản (không chính thức, một vị trí của khuôn mặt) là đa giác đôi khi được gọi là Vấn đề Steinitz .

Sturmfels và Bokowski đã cải tiến một bộ phương pháp vào cuối những năm 80 để kiểm tra xem mạng tinh thể của một hình cầu đơn giản cũng có thể được thực hiện như một đa giác.

Phương pháp sử dụng matroid định hướng. Vấn đề là NP-hard, vì vậy thuật toán của họ đòi hỏi thời gian theo cấp số nhân trong trường hợp xấu nhất, nhưng họ báo cáo rằng thuật toán thường hội tụ nhanh. Lars Schewe gần đây đã chỉ ra rằng phương pháp tương tự có thể được điều chỉnh để sử dụng các bộ giải SAT được tối ưu hóa, mặc dù kỹ thuật cơ bản có vẻ giống nhau.

Tôi tò mò liệu các phương pháp mới hơn đã được phát triển trong những thập kỷ qua kể từ khi Sturmfels và Bokowski công bố kết quả của họ. Là phương pháp của họ vẫn là nhà nước của nghệ thuật? Hơn nữa, có bất kỳ triển khai phần mềm nào có sẵn để giải quyết vấn đề này - thậm chí sử dụng phương pháp cũ hơn không?

Trong cuộc thảo luận về MathOverflow, Joe O'Rourke đã chỉ ra rằng Polymake có một tính năng dường như tính toán các hiện thực hình học của các phức hợp đơn giản [GEOMETRIC_REALIZATION], nhưng điều này không đảm bảo tính đa hình theo như tôi biết.

Đây không phải là một câu trả lời, chỉ là một nhận xét. Frank Lutz ở Berlin là một trong những chuyên gia về chủ đề này, và bạn có thể hỏi anh ta. Anh ta duy trì một trang web đẹp, Trang Manifold , bao gồm rất nhiều thông tin và tài liệu tham khảo, bao gồm các mô tả về hình cầu 3 hình đa giác và hình cầu 3 hình đa giác của Grünbaum-Sreedharan.

Ngẫu nhiên, tôi tin rằng vấn đề liên quan này vẫn còn mở (nếu không, tôi muốn biết về giải pháp của nó):

Có phải mọi tam giác của một hình xuyến chi 1 đều có hiện thực hình học (nhúng) trong ?$\mathbb{R^3}$

Đối với chi đủ lớn (tôi nghĩ 5?), Có những ví dụ không thể thực hiện được.