Giảm lỗi xác định, hiện đại?

Giả sử người ta có thuật toán ngẫu nhiên (BPP) sử dụng bit ngẫu nhiên. Các cách tự nhiên để khuếch đại xác suất thành công của nó thành , cho bất kỳ nào được chọn , là $A$ $r$ $1-\delta$ $\delta>0$

Chạy độc lập + phiếu bầu đa số: chạy độc lập lần và lấy phiếu bầu đa số của các kết quả đầu ra. Điều này đòi hỏi các bit ngẫu nhiên và làm tăng thời gian chạy bằng hệ số . $A$ $T=\Theta(\log(1/\delta)$ $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
Chạy độc lập theo cặp + Ch Quashev: chạy "độc lập theo cặp" và so sánh với ngưỡng Điều này đòi hỏi các bit ngẫu nhiên và làm nổ tung thời gian chạy theo hệ số . $A$ $T=\Theta(1/\delta)$ $rT =\Theta(r/\delta)$ $T=\Theta(1/\delta)$

Karp, Pippenger và Sipser [1] (rõ ràng; tôi không thể tự mình lấy giấy, đó là tài khoản cũ) cung cấp các phương pháp thay thế dựa trên các bộ mở rộng thông thường mạnh: về cơ bản, hãy xem các nút của giãn nở như những hạt giống ngẫu nhiên. Chọn một nút ngẫu nhiên của bộ mở rộng bằng cách sử dụng các bit ngẫu nhiên , và sau đó $2^r$ $r$

thực hiện một bước đi ngẫu nhiên ngắn có chiều dài từ đó và chạy trên các hạt tương ứng với các nút trên đường dẫn, trước khi lấy phiếu đa số. Điều này đòi hỏi các bit ngẫu nhiên và làm tăng thời gian chạy bởi hệ số . $T=\Theta(\log(1/\delta))$ $A$ $T$ $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
chạy trên tất cả các lân cận của nút hiện tại (hoặc, nói chung hơn, tất cả các nút trong khoảng cách của nút hiện tại) trước khi lấy phiếu đa số. Điều này đòi hỏi bit ngẫu nhiên, và thổi lên thời gian chạy bởi một yếu tố, trong đó là mức độ (hoặc cho distance- khu phố. Thiết lập các thông số tốt, mục đích này lên chi phí tại đây. $A$ $c$ $r$ $T=d$ $d$ $d^c$ $c$ $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$

Tôi quan tâm đến viên đạn cuối cùng, tương ứng với việc giảm lỗi xác định . Đã có sự cải thiện nào sau [1], làm giảm sự phụ thuộc của vào chưa? Khả năng đạt được tốt nhất hiện tại là gì - mà gì? ? (Dành cho ? Dành cho ?) $T$ $\delta$ $1/\delta^\gamma$ $\gamma > 1$ $\gamma > 0$ $\textsf{BPP}$ $\textsf{RP}$

Lưu ý: Tôi cũng (rất) quan tâm đến thay vì . Như đã giới thiệu trong [2], việc xây dựng có liên quan sau đó không còn là các bộ mở rộng nữa mà là các bộ phân tán (xem ví dụ, các ghi chú bài giảng này của Ta-Shma, đặc biệt Bảng 3). Tuy nhiên, tôi không thể tìm thấy các giới hạn tương ứng cho khuếch đại xác định (không phải là một bit ngẫu nhiên hơn so với khuếch đại được phép ), tuy nhiên, cũng không (quan trọng hơn) các cấu trúc phân tán rõ ràng hiện đại cho phạm vi tham số có liên quan là gì . $\textsf{RP}$ $\textsf{BPP}$ $r$

[1] Karp, R., Pippenger, N. và Sipser, M., 1985. Một sự đánh đổi ngẫu nhiên theo thời gian . Trong hội nghị AMS về độ phức tạp tính toán xác suất (Tập 111).

[2] Cohen, A. và Wigderson, A., 1989, Tháng Mười. Phân tán, khuếch đại xác định và nguồn ngẫu nhiên yếu. Trong Hội nghị chuyên đề hàng năm lần thứ 30 về nền tảng của khoa học máy tính (trang 14-19). IEEE.

— Clement C.
nguồn

Sự hiểu biết của tôi là như sau (chủ yếu dựa trên các ghi chú bài giảng đã nói ở trên của Ta-Shma , của van Melkebeek và của Cynthia Dwork . Theo như tôi có thể nói, các bộ phân tán rất tuyệt vời để khuếch đại theo số mũ ngẫu nhiên theo số mũ , nhưng không phải có thêm 0 bit ngẫu nhiên.

— Clement C.

(nếu một người sẵn sàng sử dụng một vài bit thừa này, thì bài giảng của Ta-Shma có một bộ các bảng tóm tắt rất thuận tiện). Không có sự ngẫu nhiên nào thêm ,, cách tiếp cận BPP / RP dựa trên bộ mở rộng trông giống như cách duy nhất (xem ghi chú của van Melkebeek cho BPP, Dwork's cho biến thể RP ,: cả hai đều rất giống nhau và dựa trên bài báo [1], trong đó tôi không thể tìm thấy pdf trực tiếp). Không ai có vẻ đưa ra một ràng buộc rõ ràng về mức độ của đa thức trong , vì nó phụ thuộc vào mức độ và độ mở rộng của biểu đồ giãn nở.

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— Clement C.

Nó sẽ ít nhất là tuyến tính trong : nhưng nó sẽ là gì đối với các cấu trúc (hiện tại) được biết đến nhiều nhất của đồ thị giãn nở? Trên thực tế, ngay cả đối với các công trình xác suất?

1 / δ

$1/\delta$

— Clement C.

Cũng có liên quan (nhưng không trả lời câu hỏi cụ thể): Phần 3.5.4 và Mục 4 (Vấn đề 4.6) của Pseudorandomness của Salil Vadhan .

— Clement C.

Không ghi chú bài giảng của Melkebeek đã bị ràng buộc chưa? Giới hạn ở đó là nhiều nhất là và chúng ta có thể nhận được bằng cách sử dụng các cấu trúc hiện có. $O(1/\delta)$ $\lambda$ $O(\sqrt{\delta})$ $\lambda = O(1/\sqrt{d})$

Trong bài giảng của Dwork cũng vậy, điều kiện cần là mở rộng là cho một số không đổi (nhìn vào một điểm trong khoảng cách c về cơ bản là sử dụng năng lượng để cải thiện khả năng mở rộng). Mà một lần nữa có thể đạt được với độ . $C/\delta$ $C$ $O(1/\delta)$

Có lẽ có giới hạn dưới của về số lần chạy cần thiết. $\Omega(1/\delta)$

— khách mời
nguồn

Tôi hiểu rồi - hãy để tôi viết lại nó để xác nhận rằng tôi hiểu đúng. Cho

là xác suất lỗi ban đầu, nếu chúng ta có một quang phổ degree-

nở trên

nút với thứ hai eigenvalue

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

(nơi

là rõ ràng, khác nhau cho RP và BPP) sau đó chúng ta có được một Blowup trong thời gian chạy của

. Vì vậy, nếu chúng tôi có một gia đình rõ ràng

-expanders với

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

cho tất cả

, tất cả chúng ta cần là

cho ràng buộc để được thỏa mãn.

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

— Clement C.

Ví dụ, đồ thị Ramanujan tùy tiện lớn được biết là tồn tại (tính xây dựng) cho bất kỳ mức độ

mà

là một cường quốc hàng đầu. Nhưng chúng ta có công trình xây dựng rõ ràng của đồ thị với

d

$d$

d - 1

$d-1$

vớitất cả

(hoặc, giả sử, với tất cả

là lũy thừa của hai)? (Tôi không đủ hiểu biết về điều đó, và chỉ dẫn về điều đó loại tôi có thể tìm thấy là xây dựng Balu-Linial của mang đến cho

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

và không rõ ràng mạnh mẽ).

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$

— Clement C.